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determinato ; a e <j 3 sono di piccolezza arbitraria, indipendentemente dai valori 

 x e h considerati : questo rapporto ha dunque, per un determinato a? e un 

 determinato h , un valore compreso tra il limite superiore e il limite infe- 

 riore della f(x,y 0 ) nell'intervallo da x a x-\-h. Ora, fissato un x, per 

 ogni h che si prenda diverso da zero, mutando se occorre convenientemente y H 

 e quindi y ( , si può ripetere tutto il ragionamento fatto sin qui: per con- 



., , $ (x -h h , y a ) — $ (x , Vn) n 

 seguenza, il rapporto — - v yo/ , per un x fisso, e per ogni h 



determinato, diverso da zero, ha un valore compreso tra il limite superiore 

 e inferiore della f(x,y 0 ) tra x e x-hh: esso dunque, in un determinato 

 punto x, al tendere di h a zero, fa un'oscillazione che è eguale o minore 

 a quella che nello stesso punto x fa f{x,y 0 ). 



« Epperò i rapporti incrementali delle due funzioni continue 



r> X /il 



0{x)= j f(x,y 0 )dx , $(tf,?/ 0 )= lim jf{x,y s )dx 



in ogni punto x, al tendere di h a zero, oscillano come ivi oscilla la f(x,y 0 ) . 



«Poiché il gruppo dei punti x nei quali f(x,y 0 ) fa un'oscillazione 

 maggiore di 2 a', d essendo un numero preso piccolo a piacere, è rinchiu- 



dibile dentro un numero finito di tratti t x , t 8 , £ 5 , di somma piccola 



a piacere, e per le porzioni rimanenti esiste un numero positivo determinato §, 

 tale che in ogni intorno {x — preso in una di esse, l'oscillazione 



della f{x,y 0 ) è minore di 2</: se G(£c,§) e g(x,à) sono rispettivamente 

 il limite superiore e il limite inferiore della f{x,y 0 ) nell'intorno ora detto, 

 si ha che ciascuno dei due rapporti 



+ gfo ) ®(x-\-h,y (ì ) — $(x) 

 h ' ' h 



per ogni punto x preso in una delle porzioni dianzi indicate, e per ogni valore 

 |/i|<d, sinché il punto x~\-h cade nella stessa porzione, a cui appartiene 

 il punto x , deve essere compreso tra G (x , §) e g(x,<$): per conseguenza 

 per ogni x e per ogni h ora detto sarà 



)(as-hh) — 9{x) §{x + h,y,) — ®(x, y(s ) 

 h h 

 «Ora è noto (') che, se per una funzione continua <p{x) in 

 un intervallo da a a b, tolti dei tratti celli t\ , h, .. t 5 in 

 numero finito e di somma piccola a piacere, si può deter- 

 minare un numero positivo S tale che per ogni punto x 



<2a'. 



{') Harnack, Die allgemeinen Sàtze etc. etc. Math. Annalen B. XXIV. — Questa 

 proposizione è contenuta in una già dimostrata dal prof. Volterra nella Memoria: Sui prin- 

 cipi del calcolo integrale, Giornale di Napoli Voi. XIX. — Vedi anche Scheeffer: Zur Theorie 

 der sletigen Functionen etc. etc. Acta mathematica, 5. 



