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preso in una delle porzioni rimanenti e per ogni valore 

 | h\ «cS, sia 



h <la ' 



a' essendo il solito numero piccolo a piacere, e se, inoltre, 

 anche nei tratti t, è sempre 



<\>{x-{-h) — <p(x) I 

 h 



L numero finito, una tal funzione <p(x) è costante. 



«La funzione 6 (x) — $(£c,y 0 ) sodisfa evidentemente a tutte le condi- 

 zioni invocate in questo teorema: inoltre, per x = a, è 



. 0(a) = $(a,y o ) = O: 



si ha dunque 



0(x) = $(x,y o ) , 



cioè 



(1) I f{x,y 0 )dx = lira I f (a? , y,) da; , 



a . V^Vo a 



che è quanto volevasi dimostrare. 



2. «Dall'ipotesi fatta che \f{x,y s )\, per ogni valore y s fìsso, abbia 

 un limite superiore finito L s , non segue necessariamente che la \f{x,y?)\ 

 medesima abbia un limite superiore finito L in tutto il campo, nel quale 

 è considerata. 



« Se questa condizione è soddisfatta, cioè, se per tutti i valori y s , o almeno 

 da uno di essi in poi, e per tutti i valori di x tra a e b , è sempre 



|/(a>,«/,) |<L 



allora ciò è sufficiente senz'altro perchè sussista la (1), supposto, ben 

 inteso, che f(x,y 0 ), f(x,y g ) per ogni y s siano integrabili tra a e b. 



« Basta rammentare che, preso ùn numero positivo i piccolo a piacere, 

 la somma dei tratti, sopra una retta t/ = y s > che contengono i punti x nei 

 quali è 



\f\p*yi— /"(^i2/»)l<<y.. 



a essendo pure un numero piccolo a piacere, da un valore y s in poi, è minore 

 di £ . Si nacqui ndi, da un valore y s in poi 



\f{*,yo)—f{®,y°) \ 



dx 



<g(x — a)H-2sL 



e poiché a e s sono piccoli ad arbitrio, questa prova appunto che sussiste 

 la (1) ». 



