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5. « L'osservazione, che l'integrale della somma di infinite funzioni inte- 

 grabili non è sempre dato dalla somma degli integrali, e che pjrciò si richiede 

 la convergenza in egual grado della serie data entro i limiti dell' integrazione, 

 è dovuta a Wejerstrass i 1 ).. 



«Il prof. Dini nel libro: I Fondamenti ec. ec. indica come condizione 

 sufficiente per l'integrabilità della somma di una serie la convergenza 

 in egual grado semplice, ma a esser sicuri, egli aggiunge, che a 

 una serie è applicabile l'integrazione termine a termine, occorre sapere che 

 ossa converge in egual grado tra i limiti dell'integrazione senzachè questa 

 sia veramente una condizione necessaria; e dà poi alcuni esempi di serie, 

 nelle quali i termini sono funzioni continue di oc, e anche la somma totale 

 e una funzione continua tra a e b, ma manca la convergenza in egual grado 

 e l'integrale della somma nou è rappresentato dalla somma degli integrali. 



« Esaminando quegli esempi si vede subito che le serie degli integrali 

 non sono funzioni continue di x tra a e è: e così, non è soddisfattala con- 

 dizione del n. 3. 



« Il primo esempio è 



? u ^_y( 2k n h n (ac — a) 2 k a ^ h„+\ {x — a ) j 



1 1 / l + fcK*— o)' l + O*— a)«J 



dove h n è una funzione posili; a di n che cresce indefinitamente al crescere 

 di n e k n è [iure una funzione di n. 

 « Si ha 



ì u n {ce) = S„ {oc) - 2 *»M*-a) . 2 (x - a) . 



1 1. t*/„._„\i 



1 + h\ {oc — a) 1 1 + h*^ {x — a) 

 1 



nel punto % = a-±- 



V K*\ 

 2kih\ 



S n (a H L=r \ — * / '""' ft„i-i V K 



1 



e ciò mostra che se k n , al crescere di n , non tende a zero, certo non è 

 soddisfatta la condizione del n. 4; ma essendo 



I S„ {x) <Jx = k\ a r c t a « g. h { (x — a) 2 — /r„^i a r c. t a n g h n ^ {x — a)' 1 



(') Ueber trigonometrische Rei'en, Creile, B. 71. — Della convergenza in egual grado 

 come condizione per l'integrazione per sevie, si trova la prima menzione nella Memoria 

 del Thomè: Ueber die Hetlenbruchentwiekelung etc. etc. , Creile, B. 6 5. 



