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la equazione che ha per radici le x s ^-\ , x^ , x s +i , (radici 

 della ridotta della equazione modulare dell'ottavo grado); 

 la equazione del quarto grado: 



<p (x) = w i -+-kx z -ì-Bx i -hCx~h~D = 0 

 di cui le radici sono le altre quattro della ridotta stessa, 

 ha la proprietà che i suoi coefficienti A, B, C, D sono fun- 

 zioni razionali, intiere di a, b , c ; ossia delle prime tre 

 indicate radici. 



5.° « I valori delle quantità m, p, q, introdotte nel paragrafo terzo della 

 precedente comunicazione, espressi in funzione dei coefficienti della equazione 

 (|z ( t r) — 0 o della y (x) = 0 , sono i seguenti : 



4m = A, 3 . 7 . 4 3 . p = (co — 1)[3A 2 — 8B] 

 2 . 7 . 4 4 . q = — (56. — 1) [A 3 — 4 AB + 8C] 



oppure : 



4m = a, 3.7,4lp = (&> — 2)a 2 — (3<a + l)& 

 7 2 . 4 3 . g = (3<a — 2)]a 3 — 2 (5w — 1 ) a& + (9« — 1 3) c . 

 « Posto uella (a?) : 

 (4) # = al/" — 7.t> — »>i 



si ha: 



^(a;) = 7 2 (3w+2)M(?;) 



essendo : 



M (v) = v l ~+- 6fw* — 8qv ■+- 9p 2 + 4mg 

 come si è già trovato. Così ponendo nella q> (x): 



x — (3« — 2) ^ — (a— 2) m 



si ottiene la: 



9 j(o|=7(9(i)-H22)L^) 



nella quale: 



L(£)=S 3 — w$« — 3^ + g. 

 « Notiamo dapprima che indicando con N (v) V hessiano di M (v) , si ha 

 la relazione: 



PM(P-N(?) = 4?L(S) 

 si ha cioè il teorema : Le radici della ridotta del settimo grado 

 sono le radici delle due equazioni: 



M(«) = 0 pM(£)— N(£) = 0 

 nella ipotesi che fra le x, v sussista la relazione (4) e sia: 

 4£ = 2 («4- 1 ) v + (a + 3) m . 

 «In secondo luogo siano T(u) il covariante di sesto ordine di M(t>) e 

 <72, 03 i suoi invarianti, si avrà: 



4N 3 (0 - 02 N (0 M 2 (?) ■+■ 03 M 3 (?) == — T 2 (0 

 ma per ciascuna delle radici della equazione L(£) = 0 si ha: 



P M(5) 



