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i quadrati degli elementi lineari sulle due superficie. Sia y> (oc, /3) — cost (3) 

 l'equazione della famiglia di linee considerate sulla prima superficie. 



« Supponiamo che sia possibile la rappresentazione conforme che si 

 cerca e sia: 



(4) «t =£ i/3, =/(«± i/3) (i = ^ZZT) 



la relazione, incognita, che determina le corrispondenze fra le coordinate dei 

 punti delle due superfìcie. Chiamando con fi, fi le due funzioni conjugate 

 complesse che si ottengono derivandole due conjugate complesse f (oc -hip), 

 f (oc — i/3) rispetto ad oc -f- i/3 , oc — i/3 rispettivamente, sarà, com'è noto, il 

 quadrato del modulo della rappresentazione espresso da: 



e, per la condizione impostaci, dovrà essere: 



m 3 = ip (<p) , 



(<p funzione arbitraria); il che è quanto dire: « affinchè possa trovarsi la rap- 

 presentazione che si cerca, è necessario e sufficiente che possano stabilirsi 



X 2 



delle corrispondenze tali che rendano l'espressione-^- fi fi una funzione 



della sola variabile <p (oc, /3) ». 



2. « Limitando le nostre considerazioni alla rappresentazione di una 

 superficie sul piano, prendiamo sul piano stesso per coordinate le Cartesiane 

 ortogonali, per modo che sia X, 2 — 1 • 



« Il nostro problema si ridurrà a cercare dapprima se è possibile tro- 

 vare una tal forma della funzione f {oc=t= i/3) che renda : 



(5) jififz = <l>(<P), 



essendo <p funzione arbitraria; dato che ciò sia dimostrato possibile, si dovrà 

 determinare questa funzione che esprime il quadrato del modulo della rap- 

 presentazione. Trovata così l'espressione del modulo, la ricerca delle corri- 

 spondenze (4) è ridotta a delle quadrature, com'è mostrato nella Memoria 

 del prof. Dini, Sulle rappresentazioni geografiche ('). 



(') Annali di matematica, Serie 2 a , Tomo Vili. 



Posto : f {a -i- ip) = /"^ 



la P è tosto conosciuta dalla (5), una volta che sia stato possibile determinare \p (qo). Si 

 ha allora : 2P = log tp(<p) -+- 2 log A 2 . 



Ora poiché : 2P = log f (a -+- ip) -t- log f (a — ip) 



dev' essere : à^P à^P n 



Ò^^ÌP* 



òP àP 



e quindi V espressione : — da dp è un differenziale esatto. 



Ma, essendo P-+-i'Q una funzione della variabile complessa a-¥-ip , si hanno le relazioni: 



^=:t'— • ÌQ=- àP 



ì>p à« "^3/3' 



