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3. « Indichiamo con A-j , A^ il 1° ed il 2° parametro differenziale di 

 una funzione sulla data superficie ('), ossia poniamo: 



e prendiamo i secondi parametri differenziali dei logaritmi dei due membri 

 della equazione (5). Avremo: 

 (6) A 2 log <f, (g>) + A 2 log X 2 = 0 , 



poiché : A 2 j log f \ -h log f\ | = 0 . 



Essendo poi ( 2 ) : A 2 log X — — K , 



dove K è la misura della curvatura della superficie (1), la condizione (6) 

 può anche scriversi: 

 (6 bis ) A 4 logtp(y) — 2K = 0. 



« Indicando con F una funzione della funzione <p delle variabili « e /3 , 

 si ha con semplici derivazioni : 



A 2 F = F'.A 2 /'+F". ATP; 

 la (6 bis ) può dunque porsi sotto la forma: 



dove si è posto: 



« Per procedere oltre, dobbiamo ora distinguere due casi: quello cioè in 



cui le espressioni A "^L , . „ sono funzioni della sola w e quello in 

 (A19))- (Aig>f 



cui non lo sono. Bisogna notare che il verificarsi dell'uno o dell'altro di 



ciò che significa che la Q è, salvo il segno, l'integrale della suddetta espressione: 



Vai? à« / 



Si avrà quindi, con semplici considerazioni:. 



rat. r& 



dove j) e 5 sono costanti reali. 



(') Vedi Beltrami, Ricerche d'analisi applicala alla Geometria, Giornale di Matema- 

 tica diretto da G. Battaglini, Voi. II. 



( ! ) V. Beltrami. Ricerche citate. 



