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« Poiché il sig. Neuraann osserva, che sono rimaste sin qui infruttuose 

 tutte le ricerche fatte p*er sostituire un metodo più comodo e più spedito, 

 a quello dato dal sig. Cantor, che, come egli dice, avuto riguardo alla sem- 

 plicità della cosa, della quale si tratta, può anche parere un po' complicato: 

 così reputo non inutile mostrare che da una proposizione stabilita nella mia 

 Nota : Un teorema intorno alle serie di funzioni, già pubblicata in questi 

 Rendiconti, ne discende come conseguenza quasi immediata un', altra, che 

 contiene in sè quella del sig. Neumann e quindi anche quella del sig. Cantor. 



«La proposizione da me dimostrata, è la seguente: Si consideri nel 



piano un gruppo di infinite rette y = y tì y — y%, aventi per retta limite 



la retta y = y 0 : sopra ognuna, nell'intervallo a &, si segnino dei tratti- 

 celli separati gli uni dagli altri, in numero finito, che però può crescere 

 indefinitamente, via via che le rette y = y s si fanno più prossime alla y = y Q : 



la somma dei tratti 5i, s , §2,s> segnati sulla y = y s , sia d s . Se per 



ogni valore s = l, 2, 3, .... si ha sempre d s ^>d, essendo d un 

 numero determinato diverso da zero, necessariamente esi- 

 ste tra a e & un punto oc 0 tale che la retta x = Xo incontra un 

 numero infinito di tratti ò\ 



« Ora di qui si trae subito quest' altra : 



«Se f(x,y) è una funzione delle due variabili reali % e y 



data per tutti i punti degli intervalli a b presi sulle 



rette y=y lt y 2 .„. e su ciascuna'di queste esistono dei tratti S 

 come quelli dianzi descritti, in ogni punto dei quali è 

 sempre 



I f{oc, y) | > c 



c essendo un determinato numero, maggióre di zero: sev(y) 

 è una funzione che per ogni valore y s anzidetto ha un va- 

 lore determinato, e in ogni punto x tra a e b è sodisfatta la 

 condizione 



lim <p{y s ).f{x,y s ) = 0, 



y>=y 0 



necessariamente deve essere 



lira © (y s ) — 0 . 

 y*=ì/o ' 



« Si consideri un gruppo qualsivoglia di infinite rette y=y H , y H , y S3 ,.... 



prese fra le y=y l , y lì y %ì Per la proposizione dianzi rammentata, vi 



sarà una retta x = x 0 che incontra infiniti tratti § giacenti su rette di un 



tal gruppo: per es. sulle rette y=y> H , V$ v , Manifestamente dovrà la 



serie dei valori 



tendere al limite zero. 



