— 639 — 



« La serie dei valori 



(«) 9 {y\) > 9 {v%) > 9 [vìi » •••• » 



è dunque tale, che da una serie qualunque in essa contenuta 



(0) 9( l M), <p(y, t ), 9 W ,•■■■••» 



se ne può sempre trarre una terza 



(v 9{y* Pl ), 9&J, 9 (y* n ) .••». 



il cui termine generale 9 (y Spv ) tende a zero col crescere indefinito di v: 

 ma allora (') tra i numeri della serie (oc) ve ne ha solamente un numero 

 finito, il cui valore assoluto sia maggiore di un numero e, preso ad arbitrio: 

 perchè," se ve ne fossero infiniti, con essi si formerebbe una serie come la (/3), 

 dalla quale sarebbe impossibile trarne una come la (■y), i cui termini decre- 

 scano indefinitamente al crescere di v. 



« Dall' essere finito il numero dei termini (a) maggiori di un numero a 

 arbitrano, segue evidentemente 



lim cp(y s ) = 0 

 y*==y 0 



come volevasi dimostrare. 



2. « Le condizioni imposte alla f(oc, y) sono certamente verificate se i 

 numeri y t , p % , y z ,.... , 



sono i numeri 1, 2, 3,...., 



e di conseguenza è y 0 = oo, e inoltre 



f (#» Vi) = f (noe) : 



essendo f(x) una funzione qualsivoglia avente un periodo l e in ogni punto 

 di un intervallo di ampiezza t determinata, valori assoluti sempre maggiori 

 di un numero c maggiore di zero. 



I . T 

 «Per la f(nx) il periodo è — , e il tratto x si riduce a — .Sia poi 



v n n 



ni il numero tale, che per n > ni si abbia -^-<è — a. Se è n = n\q-\-r , 

 q numero intero qualunque e r minore di , dentro l'intervallo a....b vi sa- 

 ranno certamente almeno q tratti ciascuno di ampiezza —, in ogni punto 

 dei quali è sempre 



| f(noc) | > c: 



ora è 



t qz . qr 



n 



n qni-\-i qni~\~n\ — 1' 



ma è 



qni-hni — 1 q i n l -hn 1 



se è q<Cqi: il minimo valore di - — — ^ è dunque 



qni + iii — l ^ 2ni— l 



(') Cantor, Ada mathematica — 2. 



