« Differenziando questa equazione verrà 



P T 2 p, (Pi dh + p 2 -h p, 2 P T (P, dT l -+- P 2 tfT 2 ) = 0 , 

 ed osservando che da (7) si ha 



P T >/p2 _ Pt 2 p/Pi _ , p< 2 P T P2 p* Pt Pi F 



h ~ P ~ ' Ti _ T 2 ' 



si troverà 



| ( W ') 2 Pt" P,' 1 + ft s = 0 , -i (PP) 2 p ( 2 p/ 2 + K 2 = 0 , 

 (dinotando P\ p' simboli equivalenti a P, p); quindi l'equazione differenziale 

 diverrà 



(f , dh — h dh) k + (T t dTj— T a dT,) 1 = 0, 



0 sia 



( 8) _js =+ _ja ==0 . 



l/(PF) 2 p 2 p/ 2 K(pp') 2 P T 2 P/ 2 

 « Le espressioni sottoposte al radicale iu (8) sono i discriminanti di (7), 

 considerata come forma quadratica in (Tj,T 2 ), 0 in (ti,t%). 



« Siano in (7) x, y i valori di t che corrispondono ad un valore di T, 

 ed X, Y i valori di T che corrispondono ad un valore di t ; l'equazione (8) darà 

 (xdx) _ (ydij) _ (TdT) 



(9) 



i/(pp') 2 p, 2 pì 2 ^(pp')Vp; 2 i/>p') 2 Pt 2 p; 2 



(XdX) (YdY) {tdt) 



l/(p//) 2 P x 2 P s 2 V (pp') 2 Pv 2 P; 2 V (PP) 2 p, 2 p/ 2 

 « L'equazione (9) fra (x, y), 0 fra (X, Y), è un'equazione differenziale 

 ellittica, di cui un integrale è dato dalla prima, 0 dalla seconda, delle equa- 

 zioni (5), cambiando in esse t', t" in x, y, e T', T" in X, Y, cioè da 



(10) 



Su , 



S)2 



S13 > 



/' V 



v x •> y 





Sin 



hi, 



«13, 



L x L Y 



S21 , 



S22 , 



S23 » 



m' x m' y 



= 0, 



Sii, 



hi, 



«23, 



m;m ¥ 



S.31 , 





S33 , 



n x n a 



S31 , 



hi, 



«33, 



k n; 



1" 1" 



b x b y , 



•m" m" y , 



n" n" 



'"x "'IJ , 



0 





14 L Y 



m' x ' m;' 





0 



== 0 



l'integrale è completo, poiché mentre l'equazione differenziale (9) dipende 

 solamente dai quattro punti comuni, 0 dalle quattro tangenti comuni, di f 

 ed P, nell' integrale (10), rimanendo fissa /' 0 P, si può supporre che P sia 

 una linea qualunque di 2° ordine, cui appartengano quei quattro punti, 0 

 che f sia una linea qualunque di 2 a classe, cui appartengano quelle quattro 

 rette; ciò evidentemente introduce nell'integrale una costante arbitraria. 

 2. « Supponiamo, per avere forinole più semplici, 



S23 = 0 , s n = 0 , su = 0 ; S23 = 0 , S31 = 0 , S» = 0 ; 

 in tal caso, ponendo 



a; i = o. b? = à. c 2 = v: A 2 = $, B 2 = ^F. C* = X. 



