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si avranno perciò le relazioni 



w rn ri ru , ri yii ri rir 



Kit, a wH-Uu qi; i „ 



■ . , CO , 



«11 «12 ~r~ «21 «22 



sicché eliminando e £" da 



U' = «ii l'i l"i + a, a ^ ?" 2 + a M ^ É" t + «22 ?\ , 



U"= «Il E'i l"l + «12 ?2 fi + «21 l'i + «22 £'« » 



e ponendo 



I = a n — «2i == [«'«''], K = an a 22 — «12 «21 = y [«'«'-,.] [«" «"y.]i J=I 2 — 4K , 

 (in cui a'„ , «" y . sono simboli equivalenti ad a', a", ed in generale si ha per 

 due simboli qualunque p e q, piqz—p%qi = \pq}) si troverà 



U' — U" = wll/T, U' + U" = — »J, 

 e l'equazione (3) diverrà 



(4) (I-^J)P-(I+^J)^ = 0, 



0 sia posto 



■=p, onde P = + K, t»" = pu'. 



I "^j = fl . onde T^^^-LY 



« Le quantità I, E, J sono invarianti della forma bilineare cp. Allorché 

 1 = 0, la dipendenza proiettiva (1) è in involuzione. Quando K = 0, l'equa- 

 zione (1) si decompone in due fattori, l'uno lineare in u', e l' altro lineare 

 in u", e la dipendenza proiettiva è singolare. Finalmente allorché J = 0, gli 

 elementi uniti nella dipendenza proiettiva sono ira loro coincidenti: in tal 

 caso prendendo per elementi fondamentali quello nel quale coincidono i due 

 elementi uniti (ui — 0), ed un altro elemento qualunque w' 0 (w 2 = 0), l'equa- 

 zione (1) si ridurrà alla forma 



vJ\ u\ u" n . 1 1 1 



ir ~ — Ti 1 0 Sia jj- - — jj— , 



U\ U j U 01 u U U 0 



dove u"o e l'elemento corrispondente all'elemento fondamentale u\. 



« Se nella dipendenza proiettiva (4) si prende di un elemento qualunque 

 io 0 il corrispondente u', di v! il corrispondente u", e così di seguito, si avrà dopo 

 n volte questa operazione u(")=p n w°, sicché coinciderà con u° (qualunque 

 sia questo elemento) quando p n =ì , 0 sia quando p è una radice primitiva n ma 



dell'unità; si avrà allora \-= t—^-, essendo p = cos -Msen 



J 1 — p r n n 



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(a numero primo con n ed inferiore ad n), onde P=4cos 2 — K; in tal 



n 



caso la dipendenza é ciclicamente proiettiva, 0 periodica d'ordine n. 

 Allorché gli elementi uniti coincidono tra loro la relazione tra u° ed t*("> 



sarà — = , e la dipendenza proiettiva non potrà essere periodica. 



i 



