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2. « Siano ora due forme bilineari 



(1) 9 = (a' u') {a" u") = 0, é = (tf' u') {b" u") = 0 ; 

 e si ponga 



la = eia — a» — W a "} i I& = &i« — hi = [ b ' b " 1 5 



(2) 2K aft = a n b n — a n hi — «21 &12 -H «22 &11 = K [a" b"\ , 



J. s = I. l b - 4K a , = ~ [a' b'} [a" b"} - [a' b"] [a" b'} , 



saranno K ab ed 3 ab invarianti simultanei delle due forme <p e, <p. 



«Allorché si annulla l'invariante K ab , considerando le due dipendenze 

 proiettive definite da 9 = 0, e <J> = 0, si avrà che prendendo di ciascuno 

 dei due elementi uniti, nella prima 0 nella seconda dipendenza, gli elementi 

 corrispondenti rispetto alla seconda 0 alla prima dipendenza, nell'ordine di- 

 retto e nell'ordine inverso , (cioè da u' ad u", e da u" ad u') i due ele- 

 menti così ottenuti saranno corrispondenti rispetto alla prima 0 alla seconda 

 dipendenza. Se poi si annulla l'invariante J ab , le coppie degli elementi uniti 

 nelle due dipendenze proiettive saranno coniugate armoniche tra loro. 



«Se invece della forma (a' vi) {a" u") , 0 pure (b' u'){b" u"), si considera 

 la forma (a' u") (a" vi) , 0 pure (b' vi') (b" vi), l'invariante 



2K ah = a n bw — a n b n — #21^12 + «22^11 — [ a 'b'\ [a"b"~\ , 

 si cambierà nell'altro 



an & 2 2 — «12 &12 — «21 &21 + «22 &11 = [d b"] [a" b'] , 

 e l' annullarsi di questo invariante esprimerà una proprietà analoga a quella 

 espressa da K ab = 0 . 



« Chiamiamo armoniche tra loro le due forme bilineari <p e <p allorché 

 K ab = 0; se le forme 



<p = (a' u') (a" u") , e = (b' v!) {b" u") 

 sono armoniche rispetto alle forme 



* = (AV)(A'V), e W = (B' vi) (B" vi') , 

 ogni forma della serie semplicemente infinita ap + /3<|/, variando il rapporto 

 « : /3 , sarà armonica rispetto ad ogni forma della serie semplicemente infi- 

 nita A^-f-B^F, variando il rapporto A:B, e viceversa. 

 « Le forme quadratiche 



(3) (a' u) (b' u) [a" ¥'] = 0 , (a' r u) (b" u) [a' b'] = 0 , 



sono covarianti del sistema di forme bilineari «30 = 0 e <p = Q. I due ele- 

 menti u', 0 pure u 1 ', determinati dalla prima, 0 pure dalla seconda, di 

 queste equazioni hanno per corrispondenti, rispetto alle due dipendenze © = 0 

 e tp = 0 , i due elementi vi' , 0 pure vi, determinati dalla seconda, 0 pure 

 dalla prima delle stesse equazioni. Scambiando tra loro in (3) b' e b", 0 

 pure a' ed a" si avranno gli altri due covarianti 



(4) {a! u) (b" u) [a" b'} = 0, (a" u ) {V u) [a' b" } = 0 . 



