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« Se la dipendenza g(v) — 0 è in involuzione, si avrà 



(2) ^Ia+V-sIj + Vs r c = ó, 



sicché la retta i> passerà allora pel punto Vo rappresentato da (2). 



« Se la dipendenza a(v) = 0 è singolare, o pure ha gli elementi uniti 

 coincidenti, la retta v sarà tangente alla linea 2 di 2 a classe rappresentata 

 dall'equazione 



(3) V t 2 K aa -f- .... + 2V 2 V 3 K ic + .... = 0 , 



o pure alla linea 0 di 2" 1 classe rappresentata dall'equazione 



(Vj \ + V 2 l b + V 3 I c ) 2 - 4 (V! 2 E aa + ... + 2V 2 V 3 K ic -+- ...) == 0 , 



(4) o sia 



V J aa + ... + 2V 2 V 3 ho + ... = 0 . 

 « Finalmente se la dipendenza <j(i>) — 0 è periodica d'ordine n la retta v 

 sarà tangente alla linea <è a di 2 a classe, che ha per equazione 



( Va I tt + V 2 I 6 + V 3 1,) 2 - 4 cos 2 i^- (Vi 2 K aa + . . . + 2V 2 V 3 K ic + . . .) = 0 , 



TI 



(5) o sia 



Vi 2 (l a 2 -4 cos 2 M K aa ) + . . . + 2 V 2 V 3 (l 6 I e - 4 cos 2 ^ -+-...= 0 . 



« Le linee 0 e 0 (i hanno con 2 un doppio contatto ; il polo della corda 

 di contatto è il punto V 0 . 



« Se le rette v' e v" sono tali che le dipendenze proiettive a (v') = 0 , 

 e a(v") = 0 , ad esse corrispondenti, siano armoniche tra loro, o pure abbiano 

 armoniche tra loro le coppie degli elementi uniti, si troverà la condizione 



v, r, K aa -h . . . + (r? v"»+r a v 2 ) &.+ ...=<>, 



o pure 



v'i v"! j aa + . . . + (r, v 3 + v 3 v a ) j ic + . . . = o , 



vale a dire le due rette v' e v" saranno coniugate rispetto a 2, o pure coniu- 

 gate rispetto a 0 . 



« I punti V corrispondenti ad un dato valore del parametro u', o pure u" , 

 variando l' altro parametro u", o pure vJ, apparterranno rispettivamente alla 

 retta v u ' , o pure v u " , rappresentata da 



Vi {b'u') (cV) jW]+«« (cV) (oV) [cV]+i) 3 (aV) (b'u') [a"b"] = 0 , 



(6) o pure da 



Vl (&V) (c"u") [Ve'] -+-v t {c"u") {a"u") [cV] +u 3 (o'V) (6V) [uW] = 0 . 

 Variando vi ed u", le rette iy e v u " costituiranno due serie di rette, che 

 diremo le rette del 1° e del 2° sistema. 



« Per uno stesso valore u attribuito ad u' ed u" le due rette v.j e v u " 

 in generale saranno diverse; esse però coincideranno ponendo tra u' ed u" 

 le relazioni 



(b'u'){c'u')\b"c"] {c'u'){a'u')[c"a"] _ (oV) {b'u') [a"b"} 

 [ ' {b"u"){c"u")[b'c'} ~ (c"u")(a"u")[c'a'\ ~ (a"u") {b"u") [a'b'] ' 

 le quali, come è facile vedere, equivalgono ad una sola condizione. 



« Segue da ciò che i due sistemi delle rette ty e v u " , definiti da (6) 



