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variando u' ed u", ne costituiscono uno solo ; le rette v u ' e v u " avranno perciò 

 uno stesso inviluppo, il quale evidentemente è di 2 a classe, poiché le equa- 

 zioni (6) contengono u', o pure u", a 2° grado. Osservando da un' altra parte 

 che per ogni punto V di una retta v tangente alla linea di 2 a classe 2 , il 

 valore di u', o pure di u' r , è fisso, mentre il valore di u", o pure di u', 

 varia da punto a punto di v , si vedrà facilmente come appunto 2 sarà l'invi- 

 luppo delle rette v u ' e v u " . Per ogni tangente v di 2 l'equazione (1) decom- 

 ponendosi in due fattori, lineari rispettivamente in u' ed u", il valore di w', 



0 di u", corrispondente a quella tangente v di 2, si otterrà eguagliando 

 a zero il primo, o il secondo di quei fattori. Per ogni punto V del piano 



1 due valori di u', o pure di u", che si ricavano dalla prima, o pure dalla 

 seconda, delle equazioni (6), sono quelli che determinano le due rette v u ' , 

 o pure le due rette v u " , tangenti al loro inviluppo comune 2 , che passano 

 pel punto V. 



« I punti V del piano per i quali u' = u" — u, costituiscono una linea di 

 2° ordine, poiché ad una retta qualunque v appartengono i due soli punti del 

 sistema, che corrispondono ai due valori di u dedotti dall'equazione di 2° grado 

 (8) V! {a'u) (a"u) + V 2 (p'u) (b"u) + V 3 {c'u) (c"u) = 0 , 



cioè dall'equazione (1) in cui si è posto u' = u" — u . Si vedrà quindi facil- 

 mente come l'equazione tangenziale di questa linea di 2° ordine sarà la (4); 

 adunque per ogni punto V della linea di 2 a classe Q i valori corrispondenti 

 di u' ed u" sono eguali. 



4. « Supponiamo finalmente che le coordinate (fj , t> 2 , v 3 , v 4 ) di un ele- 

 mento V in una forma geometrica di 3 a specie, p. e. di un punto nello spazio, 

 riferito ad una quaterna di elementi fondamentali, siano proporzionali a quattro 

 forme hilineari ; ponendo 



w 1 —{a f u')(a"u") , vv t =(b'u'){b"u") , w 3 = (cV)(cV), vv^{d'u ){d"u") , 

 ad ogni coppia di valori arbitrari attribuiti ai parametri u' ed u" corrispon- 

 derà un punto V nello spazio : i punti V , variando u' ed u", costituiranno 

 una superficie Q di 2° ordine; infatti ponendo 



#11 » s #21 i #22 

 Cu , C12 , C 21 , Cu 



d\\ ) d\<i , dcji , d^% j 

 ed indicando con P^- l' elemento reciproco dell' elemento p { j di questo deter- 

 minante, dalle equazioni proposte si dedurrà 



v (A n vi + Bn v t + Cu v 3 ~h D n v 4 ) = Yu\ u" x , 

 v (A 22 Vi -f- B 22 v t H- C 22 f 3 + D 22 v t ) = Pu\ u'\ , 

 v (An vi + B 12 t> 2 + C 12 v 3 ~h D 12 v t ) = Yu\ u'\ , 

 v (A 21 t'i + B 2 i v 2 -h C 2( v 3 4- D 21 t> 4 ) — Pw a w"i , 



(1) onde 



(knVi+B\\V^...){kwVi+B n vi+...)—{k\<iVi^^ 

 che sarà l'equazione di ù. 



