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« I valori attribuiti ad u' ed u" determineranno in una punteggiata i 

 due punti rappresentativi del punto V di Q. 



«Se il punto V appartiene al piano v, di coordinate (Vi, V 2 , V 3 , V 4 ) 

 si avrà la relazione tra u' ed u" 



(2) a (t>) = V, (a'u') (a"u") + + V 4 {d'u') (d"u") = 0 , 



sicché ad ogni piano v dello spazio corrisponderà una forma bilineare a (v) = 0 , 

 o sia una dipendenza proiettiva tra gli elementi (u' t u") rappresentativi del 

 punto V nel piano v ; i punti V apparterranno alla linea di 2° ordine, inter- 

 sezione di v con Q. 



« Se la dipendenza <7 (v) = 0 è in involuzione, si avrà 



(3) V 1 I o +../+V 4 I d = 0, 



sicché il piano v passerà allora pel punto V 0 rappresentato da (3). 



« Se la dipendenza a (v) — 0 è singolare, o pure è ad elementi uniti 

 coincidenti, il piano v sarà tangente alla superficie 2 di 2 a classe, rappre- 

 sentata dall'equazione 



(4) V t 2 E aa + . . . + V 4 2 K ad + 2 V 2 V 3 K bc -f - . . . + 2 V 3 V 4 E cd = 0 , 

 o pure apparterrà all' inviluppo 0 di 2 a classe, che ha per equazione * 

 (V 1 I a +...+V 4 I < 0 2 -4(Vi 2 K aa ^ 



(5) o sia 



Vi 2 J aa + . . . + V 4 2 3 dd + 2 V 2 V 3 3 le + . . . + 2 V 3 V 4 J cd = 0 . 

 « Finalmente se la dipendenza a(v) = 0 è periodica d' ordine n il piano v 

 sarà tangente alla superficie 0, ( di 2 a classe che ha per equazione 



(V 1 T a ^...^V 4 I d ) 2 -4cos 2 ^(V 1 2 K aa ^...^V4 2 E tó H-2V 2 V 3 K t0 ^...+2V 3 V 4 K C(; )=0, 



ih 



(6) o sia 



Vi 2 (l a 2 - 4 cos 2 i^L K aa ) + . . . + 2 V 3 V 4 (i J d - 4 cos 2 K cd ) = 0 . 



«L'inviluppo 0 e la superficie Q n hanno con 2 una linea di contatto ; 

 il polo del piano di contatto è il punto V 0 . 



«Se i piani v' e v" sono tali che le dipendenze proiettive g(v') = 0, 

 e a (v") = 0 siano armoniche tra loro, o pure che siano armoniche tra loro 

 le coppie degli elementi uniti, si avrà 



V, V", K aa + . . . + (V 3 V" 4 + V 4 V" 3 ) K C(l = 0 , 



o pure 



Vi V"i J aa + . . . + ( V 3 V" 4 + V 4 V" 3 ) - o , 

 vale a dire i due piani v' e t>" saranno coniugati rispetto a 2, o pure coniu- 

 gati rispetto a 0. 



« Per i punti V corrispondenti ad un dato valore di u', o pure di u", 

 variando u", o pure u', posto 



W' 23 = (b'u')(c'u')[b"c"] , W' 3 i = (c'u')(a'u'){o"a"] , W'« = (a'u')(b'u')[a"b"} , 

 W'u = {a'u') (d'u') [a"d"} , W' t4 == (b'ul) (d'u')[b"d"} , W' 34 = (c V) (dV) [c.V] , 

 o pure 



W" 23 =(&V r )(c'V)[6V], W",R(cV)(aV)[cV], W" tt =(oV')(6"i»")[fl'6], 

 W^ 4 =(a'V0(d'V')[a'dn,W'' S4 =(6V')(dV')[&'d'], W" 34 =(cV0(dV')[c'd ']. 



