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si troverà il primo, o pure il secondo, sistema di relazioni 



w 2 W' 34 — ^3 W' 24 + v, W 23 = Ò, v% W" u — v 3 W" 24 + v & W" 23 = 0 , 



m V 3 W' U — V i W , 34 + V4W T 34 = 0, V 3 W" U — ViW" 8 4 + V 4 W"31 = 0, 



vi W' M 4- v t W 31 + ^W'h = 0, Vi W"« + ^2 W" 8 i H- v 3 W"i, = 0 ; 



le equazioni del primo, 0 pure del secondo, sistema (7) rappresentano quattro 

 piani, che passano per una stessa retta tu', 0 pure tu", di coordinate W',7, 



0 pure W'ij, per essere identicamente (come è facile verificare) 



W'mW'u+W' 3 iW',4+W', 4 W' 3 ì==0 , e W",3W"i4+W"3,W , ' a 4H-W" 1 ,W" 84 =0 ) 



1 punti V di cui si tratta apparterranno quindi alla retta tu', 0 pure alla 

 retta tu" . 



«Variando vi ed u" le rette tu' e w" costituiranno due serie di rette; 

 esse evidentemente saranno le generatrici, del 1° e del 2° sistema, della super- 

 ficie di 2° ordine Q. Il punto d'incontro di tu' e tu" sarà il punto V cor- 

 rispondente ai valori vi ed u" dei parametri. 



«Osservando che per tutt'i punti V del sistema, appartenenti ad un 

 piano v tangente alla superficie di 2 a classe 2, il valore di vi, 0 pure di u", 

 è fisso, mentre il valore di vi' , 0 pure di vi, varia da punto a punto, si vedrà 

 facilmente come appunto 2 sia il luogo delle rette tu' e tu", vale a dire la 

 superficie ù, luogo di punti, e la superficie 2, inviluppo di piani, costitui- 

 scono una stessa superficie di 2° ordine e di 2 a classe; per ogni piano tan- 

 gente v di 2 l' equazione (2) decomponendosi in due fattori, lineari rispet- 

 tivamente in v! ed u", i valori di vi ed vi' corrispondenti rispettivamente 

 alle generatrici tu' e tu" di Q, appartenenti a v, si otterranno eguagliando 

 a zero il primo, 0 il secondo, di quei fattori. 



«I punti V del sistema (0 sia di Q.) per i quali vi = u" — v costitui- 

 scono una linea di 2° ordine, intersezione di £2 col piano f 0 che ha per 

 equazione 



Vi , v % 



fi gif. 



1 Vi 



«11 , b\\ 



, c n 





ai 2 -f-a 2 i , 



■hhii c i2H 



-c 21 , di% 



a 22 , b<ii 



, c 22 



, d 22 



ad un piano qualunque v (di coordinate Vi, V 2 , V3, V 4 ) apparterranno i due 

 soli punti V del sistema, che corrispondono ai due valori di v dedotti 

 dall'equazione di 2° grado 



(9) V t (o'w) {a"u) -+- V 2 (b'u) (b"u) + V 3 (c'v) {c"v) + V 4 {d'v) [d"u) = 0 , 



cioè dall'equazione (2) incili si è posto vi — u" — u; l'equazione, in coor- 

 dinate di piani, della suddetta linea di 2° ordine, sarà quindi, per le cose 

 dette la (5); adunque l'inviluppo di 2 a classe 0 non è che una conica; per 



