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Matematica. — Inforno a taluni determinanti aritmetici. Nota 

 di Ernesto Cesaro, presentata dal Socio Cremona. 



1. «Sia ¥(oc, y) una funzione qualunque del massimo comun divisore 

 dei numeri x e y. Ci proponiamo di studiare il determinante 



A n = F (m , u x ) F (mi , m s ) F (iti , m 3 ) F {ui , m„) 



F (m 2 , u{) F (m 2 , F (ui , m 3 ) F (m 2 , m„) 



F (m 3 , Mi) F (m 3 , M 2 ) F (m 3 , M 3 ) F (m 3 , u n ) 



F (tt, , Mi) F (m„ , M 2 ) F (m„ , M 3 ) F(m„. m„) 



nell'ipotesi che la serie di numeri interi 



Wl, M 2 , M 3 , M„ (1) 



sia dotata della seguente proprietà: tutti i divisori d'un termine qualunque 

 fanno parte della serie stessa. Supponendo M 1 <Ma< è neces- 

 sario che sia, anzitutto, u\ = 1 . 



2. «Immaginiamo una funzione u.(x), nulla in generale, ma uguale 

 all'unità per x = l, ed a ( — 1) T quando # è il prodotto di t fattori primi, 

 disuguali. Si dimostra facilmente che la funzione 



è nulla, salvo per x=l, nel qual caso essa è uguale all'unità. È noto 

 inoltre che la funzione F(a?) può sempre essere considerata come la somma 

 dei valori che prende un'altra funzione f(x), quando por x si mettano tutti 

 i divisori di x. Da tutto ciò risulta che, se si conviene di prendere f(x)=0 

 quando x non è intero, si può scrivere: 



e, viceversa, 



/>) = ^)F(1) + ^£)F(2) 



(f>(S> 



3. « Ciò premesso, è facile dimostrare che la somma 



fi (fy F (M r , M,) + fj. F (M,. , M 2 ) + p F (M r , M 3 ) + , 



generalmente nulla, è uguale a /"(m h ) soltanto nel caso che u r sia divisibile 

 per m„ . Per le ipotesi fatte sulla serie (1), ciò non può accadere se non 

 per r — ri. Ne risulta che, se all' ultima colonna di A„ si aggiungono tutte 



le altre, rispettivamente moltiplicate per > ^(^f)' ^ijf} ' ' 



tutti gli elementi diventano mi Ili, "salvo l'ultimo, che risulta uguale a f(u„). 



