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« Così, nel caso in cui h e I) sono coniugate, si hanno le forinole si- 

 multanee 



J/= 1 y=l 



« Se, per esempio, scomponendo a; nei suoi fattori primi, si ottiene 



«, «, « r 

 x == zs 1 is ì — sr r , 



e si pone, secondo l'abitudine, 



a>(x) = 2\ \(x) = (-\) 

 è lecito supporre (') : 



h(x) = a> (x) , k(x)-=ì (x) a (x) . 

 « Possiamo invece prendere, nelle formolo generali, 

 f(x) = l, \)(x) = k(x) — e(oc), 

 e ritroviamo allora i risultati segnalati in principio, poiché si ha subito 



M , j=A (±), A«=*|g: 



«Suppongasi finalmente che, per x intero, h(x) ed I) (x) siano uguali 



all'unità. Allora li(x) e k(x) non differiscono dalla funzione invertente [j.(x): 

 è noto, infatti, che 



H(x)+n (Jp) + p. (j) + = i(x). 



« Intanto nell' espressione di w, is possiamo attribuire a v soltanto quei 

 valori che dividono simultaneamente i e j, dimodoché u t j si riduce alla 

 somma dei valori che assume f(x) quando ad x successivamente si sosti- 

 tuiscono tutti i divisori di (i,j). Per conseguenza, posto 



f (*) + f(j ) + f (j ) + ; = F (#) » 



si ritrovano le note forinole f) 

 « L' eguaglianza 



À("> = /'(I)f(2)/'(3)....f(n), 

 relativa a questo caso particolarissimo, costituisce il teorema di Mansion. 



3. « Si arriva, in sostanza, al medesimo teorema quando le funzioni h 

 ed j) appartengono all'importante classe delle funzioni ip, dotate della proprietà 



<P (oc) <p(y) = ù (xy) . 



(') Sull'invasione delle ideatiti aritmetiche (Giornale di Matematiche. 1885, p. 168). 

 ( 3 ) Determinanti in Aritmetica (Giornale di Matematiche, 1885, p. 182). 



