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del primitivo sistema dando luogo a un elemento r-plo del nuovo, e ogni 

 figura di grado r a una figura di ugual grado. Del resto la projettività di 

 due forme di 2 a specie non è che un caso particolare della corrispondenza 

 Cremoniana ; infatti per m = l la corrispondenza isografica o reciproca 

 di grado m coincide con V omografia o rispettivamente con la correlazione 

 {dualità) ordinaria. 



« Considerando due sistemi Cremoniani isografici di grado m, 2, 2', e 

 l'ente geometrico determinato da due elementi corrispondenti, si presenta 

 spontanea la ricerca della figura (linea, superficie, ecc.), generata dall'ente 

 anzidetto. 



« Tale ricerca, nell'ipotesi che 2, 2' siano due stelle di raggi, fu fatta 

 per un caso particolare da Jonquières (1. c.) e pel caso generale da Cremona 

 (1. c. 2 a Memoria) ; — le due stelle isografiche generano una curva gobba 

 dell'ordine m + 2, luogo dei puuti ove s' incontrano i raggi corrispondenti. 



«Nell'ipotesi che 2, 2' siano due piani punteggiati, tale ricerca fu 

 fatta da Hirst (') ; — i due piani isografici generano una congruenza di classe m 

 e di ordine m~\- 2 (che l' autore chiama congruenza Cremoniana), ogni raggio 

 della quale unisce due punti corrispondenti dei piani dati. 



« Si rileva poi, per dualità, che se 2, 2' sono due piani rigati, l'invi- 

 luppo dei piani contenenti coppie di raggi corrispondenti è una sviluppabile 

 della classe m-+-2 ; e se 2, 2' sono due stelle isografiche di piani, gli ele- 

 menti corrispondenti si segano lungo i raggi di una congruenza dell'ordine m 

 e della classe m-}-2. 



« In simil modo c' è luogo a studiare la figura geometrica generata da 

 due sistemi Cremoniani reciproci di grado m. Avendo io' fatto tale studio 

 ed essendo arrivato a risultati forse non privi d'interesse, mi permetto di 

 qui comunicarne alcuni. 



« Se, allargando il significato di una denominazione già in uso, per 

 monoide di grado n si convien d'indicare tanto una superficie di ordine n 

 dotata di un punto (n — l)-plo, quanto una superficie di classe n dotata di 

 un piano tangente (n — l)-plo, trovo che due sistemi Cremoniani reciproci 

 di grado m, 2 e 2', generano un monoide del grado m-t-1; precisamente, 

 se 2, 2' sono due stelle, il monoide è il luogo dei punti comuni ai raggi 

 di 2 e ai corrispondenti piani di 2', se sono due piani, il monoide è l'invi- 

 luppo dei piani che passano pei punti di 2 e per le rette corrispondenti di 2'. 



« Per ogni valore di m vi sono tante classi di sistemi Cremoniani reci- 

 proci quante sono le soluzioni delle equazioni (1) ; ed altrettante sono le 

 specie di monoidi di grado -m + 1 da essi generati (una medesima specie 

 contenendo un monoide-luogo e il monoide-inviluppo correlativo). Ogni specie 



(') On Cremonian Congruences, nei Proceedings of the London Math. Society voi. XIV; 

 On Congruences of the third Order and Class, ibidem, voi. XVI (1885). 



