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poi può presentare più tipi diversi, dipendenti dalla scelta degli elementi 

 fondamentali e dagli altri elementi arbitrari di cui si può disporre nello sta- 

 bilire la corrispondenza reciproca dei sistemi generatori 2, 2'. 

 « Fra le soluzioni delle (1) vi è sempre la seguente 

 «ì = /3i = 2m — 2 , <x m -i = /3 m _t = 1 

 che caratterizza la corrispondenza reciproca di grado w, analoga a quella 

 isografica studiata da Jonquières; la classe corrispondente di sistemi reci- 

 proci si distinguerà col nome di sistemi Cremoniani reciproci di Jonquiè- 

 res, e il monoide che questi generano si chiamerà monoide normale (') del 

 grado m -f- 1 . 



« Ad esempio, per m = 1 si ha la consueta generazione delle quadriche 

 (come luogo o come inviluppo, secondo che 2, £' sono due stelle o due 

 piani) ; , 



per m — 2 si ha una nuova generazione della superfìcie di 3° ordine 

 con punto doppio o della superfìcie di 3 a classe con piano tangente doppio, 

 secondo che 2, 2' sono rispettivamente due stelle o due piani ; e, come caso 

 particolare, si ha una nuova generazione della cubica dotata di 4 punti 

 doppi, o, rispettivamente della sua reciproca, cioè della superfìcie romana 

 di Steiner; 



per w = 3, prescindendo dai casi particolari, si ha, come nei' casi pre- 

 cedenti, una sola specie di monoide (il monoide normale) di 4° grado ; la 

 quale comprende la superfìcie di 4° ordine con punto triplo e una retta 

 doppia C), e la reciproca di questa ; 



per m = é, al contrario, essendovi due classi distinte di trasformazioni 

 Cremoniane reciproche, si hanno due distinte specie di monoidi del 5° grado; 

 prescindendo dai casi particolari, l'una comprende la superfìcie di 5° ordine 

 con punto quadruplo e una retta tripla (monoide normale) e la sua reci- 

 proca — l'altra la superfìcie di 5° ordine con un punto triplo e tre rette 

 doppie in esso concorrenti, e la sua reciproca ( 3 ) ; 



e anche maggior varietà di specie presentano i valori di m > 4 . 



« Si può dire in sostanza che, dato m, ogni soluzione delle (1) som- 

 ministra le caratteristiche : a) dì una classe di sistemi Cremoniani isografici 



(') Il monoide normale d'ordine n rientra nel tipo delle superficie d'ordine n dotate 

 di retta (n— 2)-pla; sulle quali si confronti nel t. Ili dei Mathem. Annalen la Memoria di 

 E. Sturm: Ueber die Flàchen mil einer endlichen Zahl von (einfachenj Geraden, vorzugsiveise 

 die der vierlen und funften Ordnung. 



( 5 ) Per monoidi di 4° ordine vedasi la Memoria di K. Eohn, Ueber die Flàchen vierter 

 Ordnung mit dreifachem Punkte, Math. Annalen, t. XXIV (1884). 



( 3 ) Questi monoidi (corrispondenti ad m=4) sono casi particolari della superficie di 

 5° ordine dotala di una cubica doppia; due casi non considerati nella celebre Memoria di 

 Clebsch , Ueber die Abbildung algebraischer Flàchen, insbesondere der vierlen und funften 

 Ordnung, Math. Annalen, t. I (1870). 



