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(e corrispondente specie di curve gobbe, ecc. da essi generata) ; b) di una 

 classe di sistemi Cremoniani reciproci, associata alla precedente ; c) di una 

 determinata specie di monoidi del grado m-f-l (comprendente due mo- 

 noidi correlativi) cioè quella generata dai sistemi b). 



« Le principali proprietà dei monoidi dei quali ci stiamo occupando 

 sono riassunte nei seguenti teoremi, che si dimostrano con facili considera- 

 zioni geometriche, e nei loro correlativi, i cui enunciati si omettono per 

 brevità. 



Due stelle Cremoniane reciproche di grado m generano (come luogo del 

 punto comune a un raggio dell'una e al piano corrispondente del- 

 l'altra) una superficie <E> m -,-i , deW ordine m-f-1, per la quale il centro S 

 della stella di raggi è un punto m-plo e il centro S' dell'altra è un 

 punto semplice. Alla congiungente i due centri corrisponde in S' un 

 piano x e in S un cono k m d'ordine m: x è il piano tangente in S' 

 e k m il cono osculatore in S alla superficie (monoide) generata. - 

 Questo monoide) <£> m -,-i contiene, allo stesso grado r di molteplicità, cia- 

 scuna retta fondamentale r-pla della stella di raggi; e da ogni piano 

 fondamentale t-plo ^ dell'altra stella è segato secondo una linea com- 

 posta di una curva c ( (a" 'ordine i e genere zero) e di una C„»_,-t-i ('). 

 Se j intersezioni di queste curve si trovano su rette fondamentali 

 semplici della stella S, c t è un piano (j ' + £ + 1)- tangente del monoide. 

 « Già da questo teorema emerge che ® m -<-\ contiene un certo numero 

 di rette (rette fondamentali del monoide) concorrenti nel suo vertice S: 

 cioè le ai rette semplici, le a% doppie, ... le a r rette fondamentali r-ple 

 della stella di raggi. Vedremo ora che sulla superficie sono inoltre situate 

 altre rette in numero limitato. Mantenendo infatti ad a t e /3i il significato 

 già detto e indicando con y il numero dei piani non principali della stella S 

 che eventualmente contengono (per equivalenza) ( 2 ) m rette semplici della 

 superficie, passanti per S, si può formulare quest'altro teorema: 

 Il monoide contiene X = ai + m + l rette semplici concorrenti nel suo 

 vertice S, ed altre [i = fii-hy non passanti per questo punto ( 3 ). 



(') Oltre alla serie di coniche di cui si dirà in seguito, ogni monoide normale con- 

 tiene dunque almeno un'altra conica, appoggiala in un punto della retta fondamentale mul- 

 tipla: è la conica posta nel piano (m — l)-plo della stella S'. Stante questa proprietà, 

 il monoide normale di grado m si può rappresentare punto per punto sul piano con l'identica 

 costruzione adoperata da Clebsch per la rappresentazione della superficie di 4° ordine do- 

 tata di retta doppia (1. c. § 2). Del resto qualsiasi monoide (normale o no) si può rappre- 

 sentare sul piano con una semplicissima costruzione: basta farne una prolezione sul piano 

 rappresentativo dal suo punto m-plo (vertice). 



( 2 ) Vale a dire che invece di m rette semplici, il piano potrebbe anche contenere 

 delle rette multiple di <3>m-t-i , purché la somma dei gradi di molteplicità uguagli m. 



(") li valor minimo di y, se !>„,.,., è il monoide normale del rispettivo ordine, è =m ^~l. 



