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Se esìstono due paja di rette fondamentali in ciascun dei quali la somma- 

 dei gradi di molteplicità uguagli m — 1, si può stabilire la corrispon- 

 denza Cremoniana reciproca fra S ed S' in modo da assicurare a y 

 il valor minimo 2. 



Quando invece esiste un solo pajo di tali rette, oppure quando vi son due 

 rette fondamentali la somma dei cui gradi di molteplicità uguagli m — 2, 

 la corrispondenza si può stabilire in modo da assicurai^ a y il valor 

 minimo 1. 



Applicando il teorema al monoide normale di grado m~\-\ («i=/3i=2»i — 2) 

 si trova: Sul monoide normale di ordine m-\-l giacciono Sm — 1 paia 

 di rette semplici associate (Sj , s'j) : le Sj (j—l, 2, ...dm — 1) concor- 

 rono nel vertice o punto ?rt-plo S; le loro associate s' y sono situate nei 

 piani che quelle determinano con la retta fondamentale (m — l)-pla ('). 

 Oltre alle Sm — l rette s'j vi sono sul monoide tante altre rette non 

 passanti pel vertice, quanti sono i piani per S che eventualmente 

 contengono m rette Sj 



« Ritornando al caso generale, quelle m + 1 ( = 1 — ai) rette, insieme 

 alle 1a r fondamentali, costituiscono l'intersezione completa del monoide col 

 cono osculatore del suo vertice S ; nessun'altra retta g' della superficie, oltre 

 a queste g t (i = l, 2, 3, ... = grado di molteplicità), passa per S. 



« Ogni retta è asse di un fascio di piani e determina sulla super- 

 ficie una serie di curve C m -j>i dell'ordine m— H-l, aventi un punto (m — i)-plo 

 in S; onde il monoide $ m+ -i contiene X ( = ai + m + 1) serie di curve G m 

 con punto (m — l)-plo S, a% serie di curve C m _i dotate in S di punto 

 (m — 2-plo, ecc. ecc.; ma non contiene in generale alcuna serie di coniche 

 situate in piani passanti per una delle rette fondamentali — invece sui 

 monoidi normali di qualsivoglia grado si trova sempre una tal serie di 

 coniche. 



« La superficie Q> m -^i contiene pure (— /Si + 7) serie di curve G m , 

 corrispondenti alle u, rette g' che situate sulla superficie, non passano pel 

 suo vertice; ogni C m posta in un piano per g' ha un punto (r — l)-plo fisso 

 in ciascuna delle rette fondamentali r-ple incontrate dalla g' ed ha un punto r-plo 

 (variabile col piano) in ciascuna delle altre fondamentali r-ple (r = 1, 2, 3, .... ). 



« Altri gruppi discreti ed altre serie di curve di diversi ordini si tro- 

 vano sulla superficie; la strettezza dello spazio m'impedisce di darne qui 

 una descrizione anche sommaria. Osservando però che i monoidi normali 



(') Così 'I' 4 contiene 8 paja di rette associate, ne contiene 11 paja, ecc. ecc.; cfr. 

 Sturm, 1. c. 



( 2 ) Per una proprietà dimostrata da Eohn col sussidio delle funzioni ellittiche (1. c. 

 pag. 59), il monoide di 4° ordine, per es., potrebbe contenere al massimo altre 11 rette 

 non passanti pel vertice. 



