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« Sieno 3 (uj , , 3 3 4 (l'i , w 2 ) , Si , v 2 ) , % 2 (t>i , u 2 ) quattro fun- 

 zioni théta, le prime due pari, dispari le seconde ; indicando con 9 («i , Uì) , 

 9 3 4 (wi , %) e così via le funzioni trasformate, si avrà come gli autori citati : 



9 = ^[33 4-3(X3Ì 4 + f*3f -h vài») + ì^iSo i ] 



nella quale le p, X, v, <w sono i cinque coefficienti indeterminati. 



« Rappresenterò con t, u i valori di 3(vi, v 2 ), 33 4 (t>i, «2) corrispon- 

 denti a fi = u 2 — 0, e così con x, y\ z, w quelli delle funzioni 3 4 , 3i 4 ; 

 So 3» e colle stesse lettere maiuscole i corrispondenti valori delle fun- 

 zioni trasformate. Si hanno fra queste quantità le seguenti relazioni: 



X = px{tf — Xy«) , Y = py (y«H-Xa; s ) 



(1) Z = (z l + pi io 2 ) , W= p 10 (io 2 — f** 2 ) 



T — pt (fi +V» 1 ) , U=pw(w 2 + vi 2 ) 

 «Inoltre dalle relazioni generali: 



{* — w 4 = s 4 -f- w l = x i -hy i 

 si deducono le due note: 



<«X + ?/Y-f-«U = «T 

 *Z -f-wW+«U = {T . 



« Formo ora coi valori superiori di X, Y, Z, W, T, U le tre espres- 

 sioni eguali fra loro: 



X 4 -4- Y 4 = Z 4 + W 4 = T 4 — U 4 



si ottengono le : 



p 4 ^ 4 2/ 4 (£C i + ?/ 4 ) ~ ' iC 2 ?/ 2 



Z 4 h-W 4 — p 4 (s 4 H--w*) 3 4 , . , , . * 4 — w 4 q 



-7?^r = « 4 +^+4u-^ — 3 



T 4 - U 4 - p^_-u^ __ r _ _ 1 



« I numeratori delle frazioni primi membri dello precedenti equazioni 

 sono evidentemente eguali fra loro ; ora si può dimostrare che ciascuno di 

 essi è eguale a zero. Dalle equazioni (1) vedesi tosto essere: 



xX -+- y Y _ zZ -+- wW _tT — u\] 

 P— x' l -\-xj !t ~ z' k + w l ~ t l — u k 



ed indicando con pi il valore di p per la trasformazione supplementare, si avrà: 



_ xX -+- yY __ zZ -+- wW _ *T — uTJ 

 P 1 x 4 + Y 4 Z 4 + W 4 T 4 — U 4 



per le prime delle quali : 



X 4 + Y 4 - p 4 (x l -h */ 4 ) 3 = £ (£c 4 + */ 4 ) [ 1 - p 3 p, (ìc 4 + */ 4 ) 2 ] 



Pi 



