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è naturale quando si osservi che, attraversando una di queste proiezioni, 

 si aumenta o si diminuisce il numero dei punti nei quali la verticale in 

 z = z' incontra i fogli di C, e quindi viene corrispondentemente a variare 

 il numero dei termini nelle somme che compongono i primi membri delle 

 (1), (!')• 



«Le formule (1) o (1'), per le funzioni a più valori possono sosti- 

 tuirsi alla formula di Cauchy che serve per le funzioni monodrome. Ordi- 

 nariamente lo studio delle funzioni a più valori suol farsi spezzando il 

 campo nel quale si vuole studiare la funzione in modo che le differenti por- 

 zioni o non contengono punti di diramazioni, o ne contengono uno solo. Le 

 formule (1) o (1') valgono per un campo C qualunque per quanti fogli e per 

 quanti punti di diramazioni ad esso appartengano. È facile far vedere come 

 la maggior parte dei teoremi fondamentali per le funzioni a più valori 

 si deducano immediatamente dalle (1) o (1'). 



« Mantenendo le supposizioni fatte fin qui per la funzione w, tanto 

 sulla superficie T quanto nel campo C di essa, consideriamo l'altra funzione : 



tp (z) = w k 



con k intero e positivo. È chiaro che <p{z) sarà ancora nelle medesime con- 

 dizioni di tu tanto in T quanto in C e nei punti a h a tì , . .;, a tm avremo : 



<p( ail ) — èìi, <J/ (ai,) = «£■,..., <f> (a ln ) = wì m 



onde si potrà concludere: 



(2) wl + y. h + -f- y 4 , n wì m = ^-jT-^rp 



ovvero, come si è scritto sopra: 



1 c 



(2') w x k + io* 1 ' + . . . + wj' = — -, -dz . 



énjc-s — z 



In queste formule k può esser qualunque purché intero e positivo: fa- 

 cendo dunque /c=2 , 3 , . . , n le (2) o (2') unite alla (1) o (1') ci daranno i 

 valori di w h , iv^ , . . , w lm ovvero W\ , w% , . . , w, t come radici di una equa- 

 zione di grado n della forma: 



w n + Ai w n - 1 + A 2 w TC ~ 2 + . . . H- A„_t w + A„ = 0 



i cui coefficienti saranno noti quando sieno dati i valori di n sul contorno c 

 di C. Avremo dunque così conosciuta la funzione w in C quando di essa 

 sia noto il valore sul contorno c. Kesterebbero esclusi, con questo processo, 

 i valori di z cui corrispondono proiezioni del contorno e ; ma dobbiamo os- 

 servare che la condizione di continuità della funzione w in tutto C, ce la 

 renderà nota anche lungo queste linee nell'interno di quel campo. 



« Se la funzione tu fosse costantemente nulla pei punti di c si vede, 

 sempre per le (1) o (1') e (2) o (2'), che essa sarebbe anche in tutto C 



