— 788 — 



uguale a zero. Ugualmente, se fosse, sul contorno, sempre w = a, con a 

 costante, si vede che w avrebbe il medesimo valore in tutto C. 



« Tanto la prima quanto quest'ultima considerazione fatta, ci mostrano, 

 con molta semplicità, che una funzione finita e continua per tutti i punti 

 di un campo C di una superficie T di Eiemann, è completamente determi- 

 nata quando sieno dati i valori al contorno. 



« Lo studio della funzione a più valori è così riportato alla risoluzione 

 di una equazione algebrica; solamente che, in generale, i coefficienti non 

 saranno funzioni nè algebriche nè razionali, ma funzioni qualunque trascen- 

 denti della variabile complessa. 



« Però se si sapesse che tu è una funzione algebrica, e per un certo 

 valore z' di z i punti della verticale che si trovano nel campo C fossero in 

 numero eguale a quello dei fogli della superficie corrispondente alla fun- 

 zione stessa, ovvero nelle (1) o (1') o nelle (2) o (2') fosse n uguale al 

 numero dei fogli della superficie stessa si potrebbe coucludere che l'integrale : 



[——, dz 



JcZ — Z 



per k = l, 2, 3, .. è una funzione algebrica e razionale di z. Questa pro- 

 prietà potrebbe in qualche caso essere utile pel calcolo di integrali definiti. 



« Le formule (1) o (1') e (2) o (2') ci conducono immediatamente alla 

 dimostrazione di un'altra proprietà importante delle funzioni di variabile 

 complessa a più valori. È noto che se w è una funzione monodroma dei 

 punti di una superficie di Kiemann con un numero finito n di fogli, essa 

 non può essere che una costante se si mantiene sempre finita e continua. 



« Per questa funzione, qualunque sia il campo C di contorno c , avremo 

 sempre : 



., i, , u 1 r w ,c 



f*** w h + f*J, l °h + • • • + w i m = 2^J e dz 



ovvero : 



t«i'4-io/' + .,. + «' tl -T- ,dz 



^ .z — z 

 con k = 1 , 2 , . . . . 



« Prendiamo per campo C quello limitato dalle intersezioni colla super- 

 ficie T di Kiemann di un cilindro il cui asse, perpendicolare al piano z, 

 passa per l'origine e la cui sezione retta ha un raggio E che può supporsi 

 grande a piacere, così che il punto z—z' cada in un punto interno di questa 

 sezione. Eiguardo al contorno c possono darsi tre casi: 0 che sia composto 

 di n circonferenze separate ognuna delle quali giacente in un piano della 

 superficie (il punto all'infinito non è di diramazione) ; 0 che sia composto 

 di una sola curva circolare che percorre gli n fogli (il punto all'infinito è 

 di diramazione di ordine n — 1) ; 0 che si componga di m curve circolari 



