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si arriva a un'altra numerosa serie di superficie (rappresentabili punto per 

 punto sul piano) e si ha un metodo facile e generale per istudiarne le pro- 

 prietà ('). Dico numerosa: perchè, anche prescindendo dal fatto che un dato 

 valor di n si può combinare con un valore qualsivoglia di m, non solo ogni 

 coppia n , m può dar luogo a più superficie, dipendentemente dal numero 

 di soluzioni che le equazioni (1), relative ai valori assunti di m ed ??, am- 

 mettono; ma ogni singola soluzione somministra inoltre più specie di su- 

 perficie, secondo le relazioni che si verificano fra i due gruppi di elementi 

 fondamentali sovrapposti in o\ (o in S|): intendo dire del gruppo relativo 

 alla corrispondenza isografica fra c\ e <r« (o fra Si e S») e del gruppo rela- 

 tivo alla corrispondenza reciproca fra o\ ed S (o alla isografica fra Si ed S) ("). 



« Segando con un piano arbitrario s la congruenza S e la stella S, si 

 stabilisce fra i punti e le rette di s una corrispondenza multipla: a ogni 

 punto corrisponde in generale un gruppo di n 4- 2 rette — ■ a ogni retta un 

 punto, a tutte le rette di un gruppo un unico punto. Il luogo dei punti 

 situati in una delle rette corrispondenti (punti uniti) è la curva sezione 

 di s con (2 , S) , cioè con la supnficie generata dalla congruenza 2 e 

 dalla stella S. Per m = n = l, per esempio, questa curva è del 5° ordine, 

 perchè 2 e S generano una certa superficie del 5° ordine avente un punto 

 triplo in S. 



« Segando con s la congruenza 2i e la stella S, fra i punti e le rette 

 del piano d stabilisce una corrispondenza multipla: a ogni retta corrisponde 

 in generale un punto, a ogni punto, un gruppo di m rette, a tutte le rette 

 di un gruppo, un unico punto. Il luogo dei punti uniti è la sezione di z 

 con la superficie (2i , S). 



« Questa medesima curva si può definire anche altrimenti. Segando in- 

 fatti con s le stelle di piani Si , Sa , S si ottengono tre sistemi piani rigati 

 che a due a due sono in corrispondenza Cremoniana isografica (di gradi 

 n, m, mn): il luogo dei punti in cui s'incontrano le rette omologhe dei tre 

 sistemi, coincide con la curva anzidetta. Nel caso particolarissimo di 

 m=£n==l, per esempio, si ricade sulla nota generazione della superficie 

 di 3° ordine, per mezzo di tre stelle collineari, e della curva piana di 3° or- 

 dine, per mezzo di tre piani collineari rigati sovrapposti; così le proprietà 

 di queste cubiche scaturiscono in gran parte da proprietà delle superficie 



(') Similmente la congruenza Cremoniana 2 (o -2J si può riferire univocamente a un 

 piano punteggiato c\ considerando gl'inviluppi dei piani determinati dagli elementi corri- 

 spondenti, si hanno le superficie reciproche (per dualità) di quelle indicate nel testo. 



(') Per esempio, se gli elementi fondamentali del primo gruppo non coincidono con 

 alcuno degli elementi fondamentali del secondo gruppo, la superficie (-2,S) EE^ è di ordine 

 pari quando n ed m sono numeri pari e di ordine dispari negli altri casi; c lo stesso di- 

 casi della superficie (Z t , S) EEVv ^ n °§ n ' m °d° però S è un punto (n-t-2)-plo per la \p 

 ed è un punto n-plo per la i//,. 



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