dove per le (7) è: 



<Wo {X l Xz • • • Xn) {X l Xz • • • *%n) ì 



co t {x y x 2 ... x„) = x^^ t) x ì ^ l) xù^ l) . B t (Xi ... X n ) {x ÌL X 2 ...X n ) \ ?t (t=l ,2, ...,a). 



Pensando questa funzione F (a) come funzione delle variabili indipen- 

 denti Xi . . . x n , u 0 , Ui . . . Ua. , si può sempre fare in modo che essa sia 

 irriducibile in tutte queste variabili (nel campo assoluto di razionalità); 

 essendo infatti essa lineare omogenea in u 0 , u x , . . . w a , qualunque suo divi- 

 sore non può dipendere che dalle x x x 2 . . . x n , e dovrebbe quindi essere 

 un divisore comune dei polinomi co 0 = 0 0 , <»! , « 2 , . . . <«a ; se dunque questi 

 polinomi non hanno fattori comuni, la F (a) , pensata come funzione delle x 

 e delle u , è irriducibile. Ora si può sempre, ed in infiniti modi, fare che i 

 polinomi £o 0 , <»i , . . . , ft)« non abbiano fattori comuni ; basta perciò ad es : supporre 

 che : a) i polinomi 6 0 , 6^ , ... , 0 a non abbiano fattori comuni e insieme : b) il 

 polinomio 6 0 non abbia fattori (irriducibili) di altezza minore od uguale 

 ad a; in questa ipotesi infatti, come subito si riconosce, i polinomi w 0 ,«i... &>a 

 non hanno fattori comuni. 



La (23) è adunque irriducibile ; lo sarà allora anche il numeratore della 

 funzione razionale fratta che si ha da essa, ponendovi" 



(24) Xi = -r- (i == 1 , ... , n) ; u t = — ; {t = 0 . ... , a) 



Si V t 



si ha in tal guisa (indicando con r s il grado della P (a) nella x s )- 



(25) ^a^,.,ii,X:/ ±) = 



\Si h Sn V 0 V 1 Va] 



= ~ " G ta) (Il , Ì2 , • . • , £„ ; V 0 , V ir ...,Va) 



Hs £/ s • V 0 • ■ • Va 

 1 



e sarà 



(25') G (0) (?i £ 2 , • . . , £„ ; 00,01,...,».) 



irriducibile nei suoi argomenti. Per un noto teorema di Hilbert (') potremo 

 allora dare alle variabili fi £ 2 . . . f n _! tali valori intieri, non minori di a 

 in valore assoluto, A} 0 , . . . , in guisa che la funzione di f n e delle 



v 0 , »i , • • . , v* 



(26) G^^,^,...,^,^; 00,0.,...,»*) 



(') Cfr. Hilbert, Ueber die Irreducibilitàt ganzer rationaler Functionen (Giornale 

 di Creile, voi. 110, pag. 122). 



