che è irriducibile, quando si faccia questa posizione, uno dei due fattori 

 <p l , <p 2 deve ridursi all' unità, l'altro alla (27*). Sia ad es. (fi (x x x 2 . . . x „) 



quello dei due fattori della (28), che per x.i = (i — 1 . «n — 1) si ri- 



duce alla (27*); esso avrà allora in x n il grado della (27*) e quindi anche 

 della (28); l'altro fattore g> 2 deve quindi avere nella x n il grado zero, deve 

 essere cioè una funzione delle sole x x x 2 . . . x n -\ • Ma si può sempre evi- 

 tare che la (28) ammetta un tale divisore: supponiamo infatti nella (23) 

 che il polinomio 6 '„ abbia qualche termine funzione della sola x„; qua- 

 lunque sistema di valori si dia allora alle u 0 , Ui . . . u a (purché u 0 ={= 0) per 

 la proprietà b) dei polinomi w r (cf. n. 2) un tal termine non verrà a man- 

 care nella (28); questa dunque non può ammettere un divisore funzione 

 delle sole x x x 2 . . . x n -i • 



Consideriamo ancora un momento la (28), che abbiamo dimostrato essere 

 irriducibile. Se c è il minimo multiplo comune dei numeri c 0 , Ci . . . e* , 

 essa, moltiplicata per c, diventa una funzione razionale intera irriducibile 

 delle x x x 2 . . . x n ■, a coefficienti interi e privi di fattori comuni ; la sua al- 

 tezza inoltre sarà evidentemente non minore della somma dei rapporti 



, (in particolare quindi maggiore di a). 



Chiamiamo ora con a x — 1 la minima delle Àf\ e supponiamo che i 

 numeri interi c 0 , c x . . . c a sian stati presi in guisa che la somma ora detta : 



(ko| + |^r + 'N). 



sia anche maggiore di a x (questo è sempre possibile, ad es. prendendo 

 prima in un modo qualunque <? 0 , d , . . . c a -i , e quindi c a maggiore in valore 

 assoluto di «! . Ca-i) ; la (28) avrà allora un'altezza maggiore di «i . 



7. Poniamo ora nella (14): 

 (29) Uo = ; Ui = ~ , ... ; zia = ; Ua+i = w«+2 == •■,•»,• = Ua x — i — 0 ; 



Cq C\ Ca. 



e consideriamo la: 



(30) F (ai) (Xi X n 5 UtxJ — T (a) (xi X 2 ... X n ;-^-,— ... — ) + U ai W ai (Xi X 2 ... X n ). 



\ Co C x Ca./ 



Co 





c 





c 



Co 



5 



Ci 



, . . . 



Ca 



Si può sempre fare in modo che la (30) come funzione delle variabili 

 Xi , x 2 . . . x n , Ua x sia irriducibile ; basta perciò che non ammetta un divisore 



