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sia irriducibile (in 



£11 1 in X\ x% • • oCjh rispettivamente) nel campo assoluto di 

 razionalità ed inoltre la (35) abbia un'altezza maggiore di a,- + , . 



Osserviamo ancbe che la (34) e (35) hanno in x n un grado non minore 

 di Polì**', questi gradi formano dunque anche essi una successione divergente. 



8. Ciò premesso, consideriamo la funzione: 



(36) F (#i x 2 . . . x„) = — «o (Xi . . . x„) -}- 



Co 



-j- ~~ w i (X: ■ • ■ X n ) + • ' " + — &>a(#i X 2 • • • X n ) -(*■ «a, (Xi X z • ■ • X n ) + 



e supponiamo che : joer #i =j? 2 ==••• = x n = 0 polinomio w 0 = 0 O se 

 annulli e ciascuna delle derivate — - sia inoltre in questo punto diversa 



~òXi 



da zero ; questo è evidentemente possibile in infiniti modi, restando insieme 

 anche soddisfatte le condizioni b), c), d) del n. 7. Allora dalla equazione: 



(36*) f (x, x 2 ... x n ) = 0 



possiamo dedurre un elemento analitico, una serie di potenze: 



(37) a?n = 3P(*ia?i...Ìn-0 (P (0 , . . . 0) = 0) 



che soddisfa all'equazione stessa ed è assolutamente ed uniformemente conver- 

 gente in un certo campo x 2 ...x n -\) attorno al punto Xi — x 2 '= — = x lt -i = 0. 



Nelle ipotesi superiori l'elemento analitico (37) è trascendente. 



Si ammetta infatti che non lo sia; e soddisfaccia alla equazione alge- 

 brica irriducibile : 



(38) g (x L X 2 . . . X n -ì x n ) — 0 



di grado m ; ponendo nella (38) per x x x% . . . x n -\ valori razionali affatto 

 arbitrari, otterremo sempre un'equazione in x n irriducibile o meno, di grado 

 minore od uguale ad m. 

 Sia ora : 



F (ai) ^Xi X,...X n - 



una delle funzioni (35), il cui grado nella x n superi m e tale inoltre 

 che il punto x r = ^ > (r = 1 , 2 . .. . n — 1) cada nel campo di conver- 

 genza della serie (37). 



