Poniamo allora nella (36*) , (37) , (38) : 



x r = jh^( r = 1 . 2 ••• » — i) ; 



dalla (37) si avrà, detto . ( ^ x) - il valore di x n (algebrico, come sappiamo): 



(39) 



k.: =P /_l_ _JL_ \: 



la (38) diventerà una equazions 

 (40) ,?(.,,! 



ci-*-i> j (i-i-i) 



a coefficienti razionali di grado non superiore ad m; quanto alla (36*) si osservi 

 che tra le V +n (r = l,2..n — 1) ve ne è una che in valore assoluto è 



uguale ad a i+I — 1 ; se questa è la X r H+l) , il numero . J è un numero 



algebrico di altezza a i+1 e perciò per questa sostituzione si annullano tutti 

 i polinomi <»f per cui è t a i+l ; la (36*) si riduce perciò alla equazione 

 irriducibile e di grado maggiore di m : 



Questa equazione e la (40) che è di grado inferiore, dovrebbero avere una 

 radice comune, la (39), il che è assurdo. Non può dunque aversi un'equa- 

 zione come la (38) cui la serie (37) soddisfaccia; essa serie rappresenta perciò 

 una funzione trascendente delle x :1 x 2 . . . x n -\ , come avevamo affermato. 



9. Riassumendo, possiamo enunciare il teorema: 



Esistono delle trascendenti intere in n variabili com- 

 plesse x x x % ... . x n , che, uguagliate allo zero, definiscono (in 

 un campo conveniente) una qualunque di esse variabili in 

 funzione analitica e trascendente delle altre, in guisa che 

 su qualsiasi varietà algebrica dell' S„ complesso (xi% 2 — x n ) 

 e ciascuna di esse funzioni e qualunque loro derivata si 

 riducono a funzioni algebriche di alcune delle x x x 2 ...x n - 



Una tale proprietà non è adunque caratteristica delle funzioni algebriche. 



Rendiconti. 1903, Voi. XII, 1° Sem. 



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