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Matematica. — / problemi di riduzione di Pfaff e di Jacobi 

 nel caso del secondi ordine. Nota del Corrispondente E. Pascal. 



Una delle quistioni importanti che, quando intrapresi i miei studi sulle 

 equazioni ai differenziali di 2° ordine, io mi proponevo di trattare, era 

 quella della estensione del problema di Pfaff ('), che, come è noto, ha, nella 

 teoria delle ordinarie equazioni pfaffiane, un interesse fondamentale. Colla 

 presente Nota io mi propongo appunto di risolvere questo problema per il 

 caso del second' ordine, e di mostrare come, mediante le formole e i risultati 

 ottenuti nelle mie precedenti Note, la soluzione del problema venga ad 

 acquistare una grande semplicità. 



Enuncierò il problema, nel nostro caso, sotto la seguente forma: Tro- 

 vare le condizioni perchè esistano trasformazioni di variabili per le quali 

 una equazione ai differenziali totali di 2° ordine si riduca ad una dipen- 

 dente da un numero minore di variabili, e trovare tutte le trasformazioni 

 per le quali si effettui questa riduzione. 



Alla soluzione di questo problema giungerò per due vie, una diretta, e 

 l'altra fondata sulla teoria della trasformazioni infinitesime e sui risultati 

 all'uopo da me ottenuti in un'altra recente Nota presentata a questa stessa 

 Accademia ( 2 ). 



Considererò infine, accanto alla riduzione che può chiamarsi di Pfaff- 

 -Grassmann, perchè da questi autori studiata nel caso del primo ordine, altre 

 due riduzioni, che si possono ambedue far corrispondere, in due diversi sensi, 

 a quella che alcuni chiamano di Jacobi ( 3 ). 



1. Si abbia la forma 



n n n 



U == y_ Xj d 2 %i -f- ^_ y_ Xy dxi dxj 



i=l 1=1 j=l 



e si voglia trovare una trasformazione 



yl = <Pi (%i , os n ) , (i = 1 , 2 , n) 



in modo che la forma trasformata U' sia eguale al prodotto di una forma 



(*) V. p. es. la prefazione alla mia Memoria in Annali di Matematica (3), t. 7. 



( 2 ) Trasformazioni infinitesime e forme ai differenziali di 2° ordine, Eend. Acc. 

 Lincei (5), t. XI, 1902, 2° sera., p. 167. 



A proposito di questo lavoro è bene avvertire dell'evidente errore di stampa incorso 

 alla pag. 172; alla riga 16 a invece di deve si ha da leggere non deve, e alla riga seguente 

 invece di è zero deve leggersi non è zero. 



( 3 ) Vedi E. v. Weber, Vorl. iiber das Pfaff' sche Problem, etc, Leipzig 1900, p. 161. 



