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pag. 835 e 875, e di cui ho dimostrata la notevole proprietà che la sua ca- 

 ratteristica è invariante per qualunque trasformazione di variabili. Essa è rap- 

 presentata nelle mie precedenti Note colla notazione M-f-(M)-}- )M(-f-]jM((. 



Possiamo far vedere che la sussistenza delle (5) è condizione anche suffi- 

 ciente per la desiderata riduzione; giacché in primo luogo è evidente che 

 dalle (5) si hanno le (3), (4) e quindi le (2), e inoltre la prima delle (1); 

 resta perciò solo a dimostrare che ne risulta anche la seconda delle (1). 

 Ora sottraendo le seconde e terze delle (5) si hanno le 



donde 



i j ol/n òyh 



Ma per le formole di trasformazione del simbolo ((n h)) ('), il primo 

 membro di questa equazione non è altro che ((nh)) calcolato per la forma 

 trasformata cioè ((n h))', dunque si ha : 



((« h))' = ^ - Y nh = 0 



donde, essendo già Y„ = 0 , resta Y hn = 0 . 



Sia di caratteristica non maggiore di n, la matrice delle equazioni 

 lineari (5) cioè la matrice M -J- (M) -f- )M( -f- j)M(( , e sia allora ^ . . . £„ , q 

 una soluzione del sistema (5), e formiamo l' equazione a derivate parziali 



della quale potranno trovarsi gli n — 1 integrali indipendenti y 1 . . . y n - x . 



Scegliamo arbitrariamente una nuova funzione y n delle x, colla sola 

 condizione che sia indipendente dalle precedenti; la trasformazione 



(7) yi = (fi . . . x n ) , (i = l ,2...... n) 



risolve il nostro problema, e ogni trasformazione che risolve il problema 

 deve essere di questa specie. Infatti i differenziali delle X\ . . . x n , ricavati 

 dalle prime n — 1 delle (7) soddisfanno a 



per effetto di (6), e quindi, introducendo la funzione y n , si ha che i rap- 



(») Op. cit. 



Rendiconti. 1903, Voi. XI, 1° Sem. 



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