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porti sono proporzionali alle |y e perciò soddisfanno le (5). Viceversa se 



(tì/n, 



le (5) sono soddisfatte, lo saranno le (8) e quindi (6). Abbiamo perciò il 

 risultato : 



Condizione necessaria e sufficiente perchè esista una trasformazione 

 per cui la forma data si riduca, a meno di un fattore, ad una conte- 

 nente una variabile di meno, è che la matrice M -\- (M) -f - )M( -j- }}M(f 

 abbia caratteristica eguale o minore di n. In tal caso una trasformazione 

 di tale specie si ottiene cercando una soluzione t\ • • • £» Q delle equazioni 

 lineari 



(9) 









J_(ìj) h = 



j 



(« = 1,2,. 



. n) 



3 



(« = 1,2,. 



. n) 





(r,s=l,2,. 



.n) 



J 



e indi gli n — 1 integrali indipendenti dell'equazione a derivate parziali : 



(10) I^ = °- 



Chiamando y Y . . . y n ^ tali integrali e costruendo arbitrariamente 

 una nuova funzione y n indipendente dalle precedenti,, la 'trasformazione 



(11) yi = <fi fa ■ . . x n ) , (t = 1 , 2 , . . . ri) 



è la richiesta; e ognuna di tal natura si ottiene in tal modo. 



Sia v < n la caratteristica della predetta matrice. Colla trasforma- 

 zione (11) si abbia TJ=^TJi, dove Uj non dipenda più dalla variabile y n . 



La matrice relativa alla forma Ui ba alcune linee di meno (quelle ebe 

 dipendono dall'indice n) e una colonna dimeno (l'ultima); per un teorema 

 da noi già dimostrato ('), quella matrice, ebe ba ora n colonne, ba la stessa 

 caratteristica ebe quella relativa ad U, cioè v < n . Ne deduciamo ebe es- 

 sendo di nuovo soddisfatte le condizioni espresse dal teorema precedente, 

 sarà possibile una nuova riduzione e si ba Ùj = Qi U 2 dove TJ 2 non conterrà 

 ebe solo n — 2 variabili, e così di seguito, fmcbè ci riduciamo ad una U n — <+i 

 di cui la matrice corrispondente contiene solo v colonne e ebe perciò, dovendo 

 avere sempre caratteristica v, è diversa da zero. Allora non sarà più, per 

 questa via, possibile una ulteriore riduzione, e si sarà così trasformata la IT 

 in un'altra ebe, a meno di un fattore, dipenderà solo da — 1 variabili. 



(') Estensione di alcuni teoremi di Frobenius, Eend. Ist. Lomb. (2), t. 35, 1902, 

 pag. 875, § 1. 



