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Cioè : Se è v la caratteristica della matrice M -f- (M) -|- ]M( -f- ]]M\\ , 

 esisteranno sempre trasformazioni per le quali la equazione U = 0 si 

 trasformi in una con v — 1 variabili. 



2. Vogliamo ora mostrare con quanta eleganza e semplicità si può 

 ritrovare il medesimo teorema del § precedente servendosi della teoria delle 

 trasformazioni infinitesime e dei risultati da me già ottenuti nella Nota pre- 

 sentata a questa stessa Accademia e citata in principio. 



Posto 



U = <? Ux = IT 



e ammesso che U - ! non contenga la variabile y n , si osserva che la U' am- 

 mette (nel senso della precedente Nota) la trasformazione infinitesima 



Y=tì{y 1 ...y n ) 



!>y n 



Infatti il risultato dell'applicazione di Y ad U' è 



Intanto l' invariante simultaneo A e il covariante simultaneo C di U' e Y 

 (v. nota cit.), sono zero, come si riconosce a colpo d'occhio, dunque, potendo 

 affermare che le stesse proprietà sussisteranno fra la U e la trasformata, 

 nelle x, £ della F, abbiamo che questa £ deve essere una di quelle stu- 

 diate nell' ultimo teorema della Nota citata e per la cui esistenza, come 

 sappiamo, è necessario e basta che la matrice M -j- (M) -j- ]M( -J- ))M([ 

 abbia caratteristica minore o al più eguale ad n. 



Se dunque è possibile la riduzione di Pfaff, se ne deduce la esistenza 

 di una trasformazione infinitesima £ di cui sono zero l' invariante A e il 

 covariante C e che lascia invariata IL 



Viceversa dall'esistenza di una tale £ si ricava la riduzione di Pfaff. 

 Giacché sieno y x . . . y n -i gli n — 1 integrali indipendenti dell'equazione 



(12) ^=2:^^=0, 



l Udii 



formiamo una nuova funzione y n indipendente dalle precedenti e consideriamo 

 la trasformazione 



(13) yi = (fi (x 1 . . . x n ) , (i == 1 , 2 , . . . n) . 



Se la trasformata della U ha per coefficienti le Y, poiché la trasfor- 

 mata di £ sarà del tipo 



y - = a - 



