— 36 — 



dovendo essere zero l' invariante A=Y_r) h Y ìl , ne risulta 



Y n = 0; 



e dovendo inoltre essere zero tutti i coefficienti di 



c = y c, dy h = y ri «m)) Vh ~\ dy n 



H H \_ h J 



ne risulta 



{{n k)) = 0 



cioè 



~0X.fi 



— inh — 0 , 



donde, essendo già Y n = 0 , si ha 



Y„ft = 0 . 



DuDque la U trasformata, cioè la IT, non contiene termini differenziali 

 in y n . Si può far vedere che il rapporto degli altri coefficienti è indipen- 

 dente da y n ; giacché dovendo la 3 essere una trasformazione che lascia 

 invariata la U, sarà 



<r-^U' = <>U' 



T>y n 



cioè 



donde 



n — 1 -sy n— 1 n— 1 -^xr 



1 oyn ì 1 <># n 



cioè si hanno relazioni come le (2) del § 1, le quali mostrano che la TJ' è 

 eguale al prodotto di un fattore finito, dipendente da tutte le variabili, per 

 una forma nelle sole y y . . . y n _ x . Abbiamo dunque : 



Perchè sia possibile una riduzione di Pfaff per la forma U del se- 

 cond 'ordine, è necessario e sufficiente die esista una trasformazione infi- 

 nitesima che lasci invariata la TJ e di cui sieno zero l'invariante A e il 

 covariante C. 



Eicordando il risultato, relativo a siffatte trasformazioni infinitesime, da 

 noi ottenuto alla fine della Nota: Trasformazioni infinitesime e forme ai 

 differenziali di 2° ordine (Rend. Acc. Lincei (5), t. XI, 1902, 2° sem., 

 pag. 167) il precedente risultato coincide con quello ottenuto nel § 1. 



