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È bene osservare che con questo teorema si viene a dare un significato 

 notevole al primo membro dell'equazione (10), donde nel § 1 si ricavava la 

 trasformazione (1 1) colla quale si ottiene la richiesta riduzione. Quel primo 

 membro non è altro che la 3 di questo paragrafo, cioè: 



Per costruire la trasformazione che effettua la riduzione di Pfaff si 

 devono cercare gli n — 1 integrali indipendenti y Y . . . y n _i della equa- 

 zione 3f=0, il cui primo membro è una trasformazione infinitesima 

 di cui sono zero A e C , e che lascia invariata U , e indi procedere come 

 nel teorema del § precedente. 



3. Kicerchiamo ora l'estensione della cosiddetta riduzione di Jacobi; 

 vogliamo cioè trovare le condizioni perchè la forma U si possa trasfor- 

 mare in 



U = JJ l + d* <p = IT 



dove Ui non contenga la variabile y n , e y contenga invece tutte le varia- 

 bili ; insieme vogliamo trovare la più generale trasformazione che effettui 

 questa riduzione. 



È facile riconoscere che aggiungendo ad una forma un differenziale se- 

 condo esatto, i simboli (i j) , \i j{ , )ijr[ restano inalterati ; dunque quelli 

 relativi ad TJi saranno eguali a quelli relativi a U' ; ma i simboli (i n) , 

 \in\ , )ij n\ relativi ad Ui sono zero, perchè Uj non contiene y n , dunque 

 lo saranno anche quelli relativi ad U'; indicando perciò questi ultimi cogli 

 apici, abbiamo 



(in)' = Q , )in[' = Q, , )ijn\' = 0 



per tutti i valori di i , j = 1 , 2 , . . . n . 



Ricordando intanto le formolo di trasformazione relative a questi sim- 

 boli (v. la citazione fatta al principio del § 1) si ottengono le equazioni: 



(..) =II(") ¥ ^ = o 



(U) = XXt„j^^i=0 



r s oyi ùyn 



... x~ . . ~ò 2 X r ~ì)X s i X - X - X - \ j. i ~à&r ~~ò&t ~òX s A 



\i i n\ = / ' r s + / * Ir t s - — - — - — = 0. 



Dalla prima di queste, facendo variare i da 1 ad n , ed osservando che 

 deve essere naturalmente diverso da zero il determinante funzionale delle x 

 rispetto alle y, si deduce 



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