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e si formi l'equazione 



(19) *y=i^=o 



di cui si cerchino gli n — 1 integrali indipendenti y t . . . y n -\ ; con una 

 nuova e arbitraria funzione y n , indipendente dalle precedenti, si formerà 

 allora, nel modo solito, la richiesta trasformazione. Ogni trasformazione 

 di tal natura dovrà potersi ottenere nel modo indicato. 



Si potrebbe anche qui ritrovare questo stesso risultato, coi principi della 

 teoria delle trasformazioni infinitesime. Ci limiteremo però solo alle seguenti 

 considerazioni : la trasformazione infinitesima 3 ha il covariante C eguale 

 a zero, perchè sottraendo le due prime delle (18) si ha 



(20) Z ((*>")) £ = <> 



e il primo membro di questa non è che il coefficiente generico C s della C . 



Inoltre per la formola (8) della mia Nota citata Trasformazioni infinite- 

 sime etc. (Rend. Acc. Lincei, 1902, 2° sem., pag. 167) si riconosce che 



(21) 3'U = d 2 A, 



cioè 3 è una trasformazione infinitesima che applicata sulla U la riduce 

 al differenziale secondo esatto dell' invariante A . 



Ora è evidente che la trasformazione finita ottenuta nel solito modo, 

 indicato alla fine del teorema precedente, da una 3' avente queste due pro- 

 prietà, effettua sempre la riduzione richiesta; in effetti da queste due pro- 

 prietà possono sempre dedursi la sussistenza delle (18), ovvero delle (15), 

 (16), (17) e quindi procedere come si è fatto di sopra. Onde: 



Per l'esistenza di una trasformazione che effettui la riduzione di 

 Jacobi estesa al second' 'ordine è necessario e basta che esista una trasfor- 

 mazione infinitesima 3' di cui sia zero il covariante C , mentre si abbia 

 3'TJ = d 2 A . 



4. Tratteremo infine brevemente del caso in cui si voglia trasformare 

 la U nella somma di una forma con sole n — 1 variabili e del differenziale 

 primo di una forma di primo ordine: 



(22) U = V<-\-d(J>_ Zi dy^éà Fi- 

 Osservando che i simboli \ij\ e \i j h\ relativi ad Ui sono gli stessi 



che quelli relativi ad U' e che quelli, fra questi, nei quali l' ultimo indice 

 è n, relativi ad Ui, sono zero perchè Ui non dipende da y n , si ha: 



(23) 



)in\'=0 , )ijn\'=0 



