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Matematica. — Di un gruppo contìnuo di trasformazioni 

 decomponibili finitamente. Nota di G. Frattini, presentata dal 

 Socio Volterra. 



Con la presente Nota si vuol mostrare V esistenza di un gruppo con- 

 tinuo r di trasformazioni, dotato della seguente proprietà: comunque una 

 trasformazione del gruppo si decomponga in fattori (trasformazioni del 

 gruppo stesso), il numero dei fattori è sempre finito. Il caso del gruppo r, 

 che è inoltre proiettivo e a un sol parametro, è da riguardarsi come singo- 

 larissimo nella teorica dei gruppi continui, e ciò per le seguenti considera- 

 zioni generali. Dato un gruppo di trasformazioni ad n parametri a ,b , c 

 variabili senza limitazione alcuna (grappo di Lie propriamente detto) ( 5 ), 

 ogni trasformazione del gruppo si potrà decomporre nel prodotto di due fat- 

 tori, il primo dei quali, corrispondente ai valori a x , b\ , C\ . . . dei parametri, 

 si potrà assegnare arbitrariamente. Eisolvendo infatti un sistema di n equa- 

 zioni con n incognite, si potranno determinare i valori parametrali a 2 ,b. z ,Cì,... 

 relativi al secondo fattore. Ciò mostra che la decomposizione delle trasfor- 

 mazioni di un gruppo di Lie propriamente detto in fattori può essere prolun- 

 gata all'infinito. Il campo di variabilità dei parametri si supponga invece 

 limitato. In questo caso, dovendo le incognite a% , b% , c% , , :". (funzioni di 

 ai , bi , Ci . . . e dei parametri della trasformazione) essere contenute entro i 

 limiti definiti dalla natura del gruppo, le quantità a Y , bi, Ci . . . e i detti 

 parametri dovranno soggiacere, oltre che alle limitazioni loro proprie, anche 

 ad im sistema di sotto-condizioni, esprimenti le limitazioni di a% i b% , Cz . . . . 

 E qui due casi potranno verificarsi: 0 alle dette condizioni e sotto-condizioni 

 si potrà soddisfare disponendo opportunamente delle sole a x , b x , e anche 

 in questo caso il primo fattore si potrà determinare in infiniti modi (sebbene 

 non del tutto arbitrariamente), né vi sarà limite assegnabile pel numero dei 

 fattori ( 2 ). 0 si verificherà, come pel gruppo -T, il fatto singolarissimo che dal 

 sistema totale delle condizioni per a x , bi ,Ci-... e i parametri della trasfor- 

 mazione da decomporre si possano eliminare a x , #i , Ci . . . , talché resti un 

 sistema di condizioni pei soli parametri anzidetti ; e in tal caso tutte le 

 trasformazioni i cui parametri non soddisfano quest' ultime condizioni saranno 



( J ) V. Pascal, / gruppi continui di trasformazioni, Hoepli 1903, pag. 18. 



( 2 ) La mancanza delle trasformazioni inverse è dunque, per la decomponibilità finita, 

 condizione necessaria, ma non sufficiente. Le trasformazioni del gruppo z'—ez, qualora 

 e sia compresa fra 0 e 1, sono per esempio decomponibili all' infinito, malgrado il gruppo 

 sia privo delle inverse. 



