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indecomponibili. In quanto alle altre, potrà darsi che ciascuna ammetta un 

 limite massimo pel numero de' suoi fattori, come le trasformazioni del 

 gruppo r ne danno l'esempio. 



Proprietà notevole del gruppo r e dei congeneri è quella di ammettere 

 un unico sistema di trasformazioni generatrici. Tale sistema si compone delle 

 sole trasformazioni indecomponibili, necessarie tutte per la generazione del 

 gruppo. Le altre, cioè le trasformazioiii decomponibili, formano un sotto- 

 gruppo, che potrebbe dirsi il sottogruppo contingente, in quanto le sue 

 trasformazioni sono inutili per la generazione del gruppo totale ( 1 ). 



Decomponendo le trasformazioni del sottogruppo contingente in fattori 

 appartenenti al sottogruppo medesimo, la decomposizione avrà pure un ter- 

 mine. Si giungerà così ai fattori primi, che peraltro saranno tali nel campo 

 del sottogruppo contingente, e saranno invece composti, riferiti a più vasto 

 campo, qual è quello del gruppo principale r ( 2 ). 



Il gruppo parametrico di r, e a questo isomorfo, è un gruppo continuo 

 di numeri la decomposizione dei quali ha sempre un limite, malgrado la- 

 condizione di continuità. Generalmente ciò non accade, anche limitando il 

 campo di variabilità del sistema continuo (serva d'esempio il gruppo dei 

 numeri compresi fra 0 e 1). 



1. Sia D un numero intero e positivo; sia co la sua radice quadrata a 

 meno di un' unità ed r il resto dell' estrazione di detta radice. La trasfor- 



mazione 

 (1) 



fiz -f~ D 

 z -f~ fi 



operante sulla variabile z è una trasformazione proiettiva a un sol para- 

 metro n . Le trasformazioni della detta forma sono permutabili tra loro e 

 formano un gruppo, come si vede dal prodotto operativo 



. fti P» + D i D 

 / piZ-\- D \ / fx 2 z-\-T) \ jt*i —f— jt*2 



!»i IH -f- D 

 - ~t~ ■ 



fll -j- [Az 



che non muta per lo scambio degl' indici 1 e 2, e conserva inoltre la forma 

 de' suoi fattori. 



( 1 J Del sottogruppo delle operazioni che non possono utilmente concorrere alla ge- 

 nerazione di un gruppo dato ebbi già ad occuparmi in una breve Nota dal titolo: Intorno 

 alla generazione dei gruppi di operazioni, inserita in questi Eendiconti (aprile 1885). 



( 2 ) Il gruppo delle cause che presiedono ai fenomeni naturali non somiglierebbe al 

 nostro sottogruppo contingente ? Se il paragone cade a proposito, analizzando i fenomeni 

 naturali, si potrebbe bensì giungere alla conoscenza dei loro fattori elementari o primi 

 nella cerchia del sensibile. Ma nessuno di tali fattori sarebbe primo per rispetto al gruppo 

 universale delle cause, gli elementi del quale si asconderebbero nella sfera ove non 

 cerchia urnan compasso. 



