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3. Passiamo ora a ricercare se la trasformazione (fi), e con questo segno 

 indicherò una trasformazione di parametro fi e appartenente al gruppo r, 

 si può sempre decomporre in due fattori, trasformazioni del gruppo stesso, 

 o se per ciò bisognano delle condizioni, e quali. Siano fix e fi 2 i parametri 

 dei fattori, e si ponga 



fi = co -f- À , fti = ut -\- X x , fi 2 = co -J- X 2 , 



(X compresa fra 0 e 1). Esprimendo la condizione affinchè la trasforma- 

 zione (,«) e il prodotto (fii) . (,u 2 ) abbiano eguali i rapporti caratteristici, 

 si avrà facilmente l'equazione 



2a?A-f XX 2 — r 



cui si dovrà soddisfare con Ai e a 2 entrambe comprese fra 0 e 1. Patte le 

 due ipotesi 



dovrà rispondentemente aversi: 



. r — 2coX 

 /2 < X ' 



affinchè X x sia positiva. E affinchè essa sia minore dell'unità: 



> ( 2<B + i)*-r 



Due casi saranno dimque possibili : che cioè X 2 sia 0 maggiore 0 minore di 

 tutti e tre i numeri : 



. r — 2<oX (2o)+l)A-r 

 {à) k ' X ' T=ì • 



Ma, dovendo X 2 esser compresa al tempo stesso fra 0 e 1, non potrà veri- 

 ficarsi il primo caso se non quando i suddetti numeri saranno tutti minori 

 dell' unità ; nè potrà verificarsi il secondo, se non quando essi saranno tutti 

 positivi. Ne derivano per X le seguenti limitazioni : 



V T — (— 1 



X — e contemporaneamente X < :— — 



ù CO -J- 1 ó CO -J- ù 



oppure 



linee 28, 29 e 30). E quand'anche si potesse, non per ciò verrebbe meno la distinzione 

 tra grappi continui di trasformazioni decomponibili all' infinito, oppure finitamente : di- 

 stinzione che, avendo fondamento nel fatto, non può ridursi a una semplice questione di 

 forma. 



