78 



Conseguentemente : 



T T -\- 1 



fx > co -f- — e contemporaneamente fi <^co -j- — — '■ — — 



ù co -j— 1 ùto — (- 2 



oppure 



^ >&) + 2^Tl " ^< tó + 4- 



Si osservi che queste due coppie hanno comune la limitazione inferiore; 

 epperò ad esse si potrà sostituire un' unica coppia ; quella le cui limitazioni 

 sono più distanti fra loro. Tale coppia è la prima, se r < co ; la seconda 

 se r ^> co ; 1' una o l'altra delle due, se r = co . 



Affinchè una trasformazione del gruppo r sia decomponibile in due 

 fattori, è dunque necessario e sufficiente che il suo parametro sia compreso 

 fra le due limitazioni dianzi stabilite ('). Ciò verificandosi, si potrà infatti fis- 

 sare X t , senz'altra condizione fuorché quella di essere positiva e, o maggiore 

 o minore dei limiti (3) precedentemente trovati; e poi, mediante la (2), 

 determinare X Y . 



Per generalizzare il risultato precedente, giova dare alla sua espressione 

 una forma alquanto diversa, ed è la seguente: Affinchè una trasformazione 

 del gruppo r sia decomponibile in due fattori, è necessario e sufficiente che 

 il parametro della trasformazione sia compreso fra 1' una e l'altra delle coppie 

 di valori che per z = co e z = co-\-l assume ciascuno dei due quozienti 



coz + T) (w-[-l)g + D 

 U s -[-co * _["(« + !) • 



4. Ciò premesso, passiamo alla ricerca della condizione affinchè una 

 trasformazione (fi) sia decomponibile in più di due fattori, per esempio in 3: 

 (i^i), (^2), (n> 3 )- Bisognerà per ciò che il prodotto di (fi) per l' inversa di 

 (fi 3 ) sia eguale al prodotto di due trasformazioni del gruppo r : chè cioè il 

 rapporto caratteristico del prodotto 



(ft) + A + /D) (w + ^-^D), 



diminuito di co , sia compreso fra i limiti l ed già trovati per la X delle 

 trasformazioni decomponibili in 2 fattori. Ragionando come al n. 3, si con- 

 clude che la nuova X dev' essere compresa fra 



r , r 



ed 



(co -f- l) -f- IO {co -\- l') -j- co 



oppure fra 



+ * ed . Z±l . 



(ft) + 0 + (M _l_l) ( tó _j_ t) + (co -f 1) ' 



( l ) Potrebbe anche essere eguale all' una 0 all' altra limitazione, come è facile 

 vedere. 



