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epperò f.i (che è uguale ad io-\- 1) dovrà essere compresa tra 



coL + D ed col/ -\~ D 

 L -f- co L' -J- co 



( W + 1)L + D ed (co + 1) L' + P 



oppure tra 



< 



" L + (co + 1) L' + ((» + 1) 



dove L ed 1/ sono i limiti già trovati per la fi delle trasformazioni decom- 

 ponibili in 2 fattori. Ciò equivale a dire che ju, dev' essere compresa fra 

 l' una o l'altra delle coppie di valori che per z = L e s = li assume cia- 

 scuno dei quozienti (4). Combinando questo risultato con quello già ottenuto 

 in proposito di L e di L' alla fine del numero precedente, si conclude che 

 fi dev' essere compresa fra i valori che per z = co e z = m-\-l prende uno 

 qualsiasi dei tre prodotti operativi contenuti nella formola 



(co + 1) g -f- D~|P 



V * + » / L * + (« + !) J ' 



estesa alle partizioni del 2 in due numeri interi a e /?, positivi o nulli. 



Ma questo risultato si semplifica, potendosi verificare che il minimo 

 dei limiti inferiori, come anche il massimo dei limiti superiori di ft che 

 in tal modo si ottengono, corrispondono al caso dei fattori eguali fra loro ; e 

 di più eguali ad 



(co + 1) g + D 

 * + (« + !) ' 



se r < co ; ad 



coi -f- D 

 S + co ' 



se r co ; all' una o all' altra delle due espressioni, se r = co. Di qui il 

 teorema che è scopo principale del presente scritto, e che, generalizzato ed 

 esteso al caso di n fattori, si enuncia così: Affinchè una trasformazione 

 del gruppo r sia decomponibile in n fattori, è necessario e sufficiente 

 che il suo parametro sia compreso tra i valori che per s = co e z = co -\- 1 

 assume una delle due potenze operative 



/ coz + V y- 1 l~ (co + 1) * + D H"- 1 



e precisamente, la prima, se r^> co ; la seconda, se r < co ; V una o l'altra, 

 se r = co. 



5. L'enunciazione del teorema testé dimostrato può essere modificata e 

 resa più perspicua come segue : Se r > co (e similmente è a dirsi se f 5 co), 

 si ponga 



(CO + t/Df- 1 = F*_, + Qn_, |/D . 



