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Sarà altresì 



\ Z~\-(ù ) Q«_i* + Pn-l 



Se una trasformazione è decomponibile in n fattori, il suo parametro fx dovrà, 

 come già fu detto, essere compreso tra 



«P^ + DQ^! e (CB + l)Pn-l+DQ^l 

 «Qn-l + Pn-i (<» + 1)Qm-i + P«-l 



Ne segue che il rapporto 



jttP}i_ i DQ n _ i 



Pm— i f& Qin—l 



dovrà essere compreso fra w e ca-\-l. Ma esso è il rapporto caratteristico 

 relativo al prodotto 



Q» + f/D) (P n _, — Q„-! t/D) = (/» + |/D) (a, — ,/D)- 1 , 

 o all'altro 



+ t/D) (|/D -a,)-'; 



quest'ultimo prodotto, ridotto a forma di binomio irrazionale, apparterrà 

 dunque al gruppo paramedico di r. Di qui il teorema: Affinchè una tras- 

 formazione di parametro fi sia decomponibile in n fattori, é necessario 

 e sufficiente che il prodotto 



(^ + |/D)(,/D-to)^, 



se r >' <a, oppure il prodotto 



0* + f/D) + 1 — t/D)"" 1 , 



se r <. co, ridotti a forma di binomio irrazionale, appartengano al gruppo 

 parametrico di r. 



Corollario. — Il massimo numero di fattori in cui è decomponibile 

 una trasformazione di parametro fi eguaglia il minimo valore che bisogna 

 dare all'esponente k affinchè il prodotto 



(/*-f|/D) (J/D -<»)*, 



se r j> «a, oppure l'altro 



(^+f^)( w + l_t/D>, 



se r < <», c/ie ^er A = 0 appartengono al gruppo parametrico, cessino di 

 appartenervi. 



a» 



Esempio. — Sia D — 11 , « = 3, r = 2 . La trasformazione 



1257^ + 4169 

 379<?+1257 ' 



