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ed eguagliamo a zero i coefficienti delle àpi , <% e di ; avremo il sistema 

 di equazioni differenziali: 



<*> t — Ì'f-i (£=1,2 ... ») ; 



7"! \!>Pi dt ~* ~òqi dt / ' 



delle quali l' ultima è una conseguenza delle 2n precedenti. 



Adunque il sistema Hamiltoniano (II) è il primo sistema di Pfaff 

 dell'espressione differenziale (I) e com'è noto esso è invariantiv amente con- 

 giunto con tal espressione differenziale 



Si noti che se due espressioni differenziali nelle stesse variabili indi- 

 pendenti hanno i covarianti bilineari identici non possono differire che 

 per un differenziale esatto, sicché dato il sistema Hamiltoniano (II) non 

 è determinata un' unica espressione differenziale invariantivamente con esso 

 congiunta, ma infinite che differiscono fra loro per differenziali esatti. 



2. Se l'espressione differenziale (I) si riduce alla forma canonica di Pfaff: 



il sistema (II) diviene: 



dFi = dQi = 0 



sicché le Pi , Qi sono gli integrali del sistema Hamiltoniano, 



Inoltre ridurre alla forma canonica Pfaffiana la espressione differenziale 

 E d equivale, secondo il metodo d' integrazione di Pfaff, a trovare un integrale 

 completo dell'equazione alle derivate parziali di Hamilton-Jacobi : 



(OD ^ =v ( p ,, p ,,... p ,,2l^...2L ;t ). 



Eiassumendo possiamo enunciare il teorema fondamentale seguente. 

 Il sistema Hamiltoniano : 



dpi _ ~ò\3 dqj ~òJ] 

 dt ' ~òqi ' dt lipi 



è il primo sistema di Pfaff dell'espressione differenziale: 



^_ qi dpi -f- JJdt . 



i 



L'integrazione del sistema Hamiltoniano equivale al ridurre alla 

 forma canonica di Pfaff la espressione differenziale 'precedente, ossia ad 



( l ) Cfr. Darboux, Sur le problème de Pfaff, Paris Gauthier-Villars 1882, p. 7. 



