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integrare completamente l'equazione a derivate parziali 

 V_ttL „ „ . V ìf 



X;.t). 



3. Data un'espressione differenziale della classe 2n -j- 1: 



(IV) 



In 



X 0 dx„ -\- y Xj dr, , 



ove X indicano delle funzioni delle x, posto: 



"^Xj "àXft 



(M) = 



(«',£ — 0, 1 -2 ... n), 



nel determinante del covariante bilineare non possono essere nulli tutti i 

 sottodeterminanti del 1° ordine (grado 2n) e per conseguenza, giusta un 

 noto teorema di Frobenius ( 1 ), non possono svanire tutti i sottodeterminanti 

 principali del grado 2n . Supponiamo che non sia nullo il sottodeterminante 

 principale 



(1,1) (1,2) ...(1,2*) 

 (2,1) (2,2) ...(2,2») 



(2»,1) (2n , 2) . . . (2»,2n) 



2n 



Allora l'espressione differenziale ^Xjdxj, ove si considerano come va- 



.7=1 



riabili le sole x x , x 2 ... x ìn , è della classe 2n, e quindi riducibile alla forma 

 canonica di Pfaff: 



qx dpi + q s dp t H h q n dp n ; 



ma se si considera variabile anche la x 0 , che ora sostituiremo colla lettera t , 

 avremo identicamente: 



2n n 



X 0 dt -f- X X/ rfa?, = ^_qi dpi -f- Ue?£ , 



ove 



U^Xo + XX,^ 

 i=i 



Il primo sistema di Pfaff dell'ultima espressione differenziale è un 



(') Crelle's Journal, t. 82, pag. 244. Cfr. la mia Nota : Sulle proprietà invariantive 

 del sistema di una forma lineare e di una bilineare alternata, Atti della E. Acc. delle 

 Scienze di Torino, voi. XVIII (1883). 



