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sistema Hamiltoniano : tale sistema Hamiltoniano è il trasformato del 1° si- 

 stema di Pfaff della (IV). 



Reciprocamente se nella (I) alle pi , g,- , t sostituiamo delle funzioni fra 

 loro indipendenti di nuove variabili x^...x in , essa assume la forma (IV) 

 e per conseguenza il sistema Hamiltoniano (II) si trasforma nel 1° sistema 

 di Pfaff di (IV), che è : 



(i , 0) dx 0 + (i , 1) dxi -f- (i , 2) dx% -f~ " - + (& > 2») dx 2n = 0 

 (i = 0 , 1 , 2 ... 2rc) , 



il quale comprende 2# equazioni differenziali fra loro indipendenti. 



4. Il più generale cambiamento di variabili che converte un sistema 

 Hamiltoniano (II) in un altro simile sistema è adunque quello che converte 

 l'espressione differenziale: 



n 



2_ Qi dpi -f- Udì 



i=l 



in un' altra del tipo 



dSÌ -f £ tì^i* + U* #* , 



ove i2 indica una funzione qualunque delle nuove variabili indipendenti 

 p* , q* , t* ed U* una funzione delle variabili stesse. 



Ci proponiamo anzitutto di trovare il più generale cambiamento delle 

 sole variabili p t e q f (ma non della t) che soddisfa alla condizione voluta. 



Secondo quanto precede, un simile cambiamento è una trasformazione 

 tra due sistemi di variabili indipendenti : 



(Pi,qò ; (Pi* ,#*).! 



la quale dipende anche dal parametro t, ed è tale che, riguardando questo 

 come costante, si abbia identicamente: 



qi dpi — ^ q* dp* = dSÌ . 



i i 



Se a ciascun sistema di variabili si aggiunge una nuova variabile indi- 

 pendente : s e z* , e si pone la relazione : 



tra i due sistemi di variabili si ha una trasformazione di contatto, di- 

 pendente dal parametro t . 



Una cosiffatta trasformazione si trova subito nella sua forma più generale 

 col procedimento seguente. Si assuma per Sì una funzione qualunque delle 

 Pi,p* , t e si stabilisca a piacere nessuna, oppure una, od anche più equa- 



