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[Cfr. Lie-Engel, Theorie der Transformalionsgruppen, II Absch., Cap. 6, 

 Abth. I]. 



Si ponga: 



e si immaginino comunque eliminate da questa equazione le X per mezzo 

 delle (VI). Avremo identicamente: 



y q_i dpi — ^~ qt* dpi* -f- Ydt = dSì . 



i i 



Si noti che una volta ottenute le espressioni delle p\ e q t nelle p* , q* 

 e t, dette i3* e V* le trasformate in queste variabili di Sì e V, avremo: 



v*=^_i^. 



~òt T ~ì>t 

 Adunque colla trasformazione trovata abbiamo per identità: 



(vii) j_ q t dpi + u dt = dsì + y + (U* — V*) dt , 



£ i 



ove U* indica la trasformata di U nelle p* ,q* e t . 



In particolare se v = 0 , come condizioni di risolvibilità delle (VI), 

 abbiamo che non sia identicamente nullo il determinante funzionale: 



/ ~ìSì ~òSÌ ~òSì \ 



"2> (Pi ,Pl , -Pn) 



le (VI) divengono: 



DSÌ . DSÌ 



Qi = ~ ; — ?i =t~^' 



e la espressione della V diviene: 



V = ^ 



~òt 



Per V si può assumere una funzione arbitrariamente data delle pri- 

 mitive variabili p { , qi , t : allora è da assumersi per la Sì un integrale 

 completo dell' equazione alle derivate parziali: 



DSÌ / DV DV \ 



colle costanti arbitrarie non aggiunte: 



p^ ,p 2 * ...p n * . 



