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In ogni caso per la (VII) posto : 



H* = U* — V* 



il trasformato del sistema Hamiloniano (II) sarà : 



Dt ~ l>q* ' T" ' 



Sulla indicata trasformazione particolare si basa la ordinaria teoria delle 

 perturbazioni. 



5. Per trovare la trasformazione più generale che converte il sistema 

 Hamiltoniano (II) in un altro sistema Hamiltoniano : 



. 7> g > _ 7)U* 

 Dt* ~~ Dqi ' li* — Dp t * ' 



si consideri la più generale trasformazione tra i due sistemi di variabili 

 indipendenti : 



(Pi ,q \p% vi* ;-;pn ,q n ; t ,«), 



(p* , Ji* ; , # 2 * ; ... ; jv* , q n * ; , u*) 

 che dà luogo ad una identità della forma: 

 (Vili) ]T qi dpi -f t«ft = dSÌ + V ?i * <*p 4 * -f- M * . 



i ì 



Pongasi una qualunque relazione fra le variabili del primo sistema: 

 (IX) u — JJ(p 1 ...p n ;q 1 ...q n ;t) = 0. 



Per la trasformazione considerata questa relazione si convertirà in una 

 relazione : 



P (pi* , q r * ; ... ; p* , q n * ;t*,u*) = 0. 



che non può essere identica. Supponiamo che P contenga u* : questa suppo- 

 sizione in fondo non è restrittiva giacché la coppia di variabili coniugate 

 t* ,u* è una qualunque delle coppie delle nuove variabili ed inoltre è sem- 

 pre lecito di porre: invece della Sì la Sì x = Sì -j- t* u* , invece di t* e u* 

 rispettivamente t* = — u* , u* = t*. Allora la equazione precedente si 

 potrà risolvere rispetto alla u*, e cioè porre sotto la forma : 



u* — U*(j,* ...p n * ; q{* ... q n * ; l*) = 0 ; 



sicché dalle espressioni delle primitive variabili p { , q { e t nelle nuove si 

 potrà eliminare la variabile ausiliaria u*, e così pure dalle formule che 

 dànno la trasformazione inversa si potrà eliminare la u. Siccome poi nella 

 identità (Vili) non compariscono nè du nè du*, col sostituire ad u la funzione 



