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U e ad u* la U* non si muterà la forma dell' identità stessa. Dunque avremo 

 identicamente : 



]T qi dpi + TJdt = dSÌ + y q* tip? + U* dt* ; 



i i 



cos? ^ trasformazione richiesta è trovata. 

 Per esempio, scelta comunque la Sì: 



SÌ = SÌ(p l ,p 2 ...p n ; p x * ,p t * ... p n * ; i,i*), 

 si assumano % -j- 1 relazioni della forma : 



^v(Fi-^ ; Pi* -Pn* ; t,t*) = 0 (v = 0,l,2...n) 



che soddisfacciano alla condizione di essere risolvibili tanto rispetto alle 

 pi , ...p n ,t, quanto rispetto alle p* , ...p n * , t*. La trasformazione cercata è 

 definita dalle n -f- 1 precedenti equazioni e da quelle altre w -j- 1 che si 

 ottengono eliminando i moltiplicatori X fra le 2(n -j- 1) equazioni seguenti : 



2« + Z^^T Bsa ^ (e = l,2...rc); 



M=0 



v=o 



Dl2 v 



~òSÌ 





~ ^i" ' 



Tifi, 



Di2 





~~ Di ' 









" ^i* ' 





DSÌ 





~ Dt* ' 



-** + S>^-=£*. 0 = 1.2...»); 



Per una trasformazione cosiffatta la (IX) si converte in un' equazione 

 che non può contenere le sole p* ...p n * , t. Senza scapito della generalità 

 possiamo adunque ritenere che la trasformata della (IX) contenga la u* . 



6. Consideriamo un sistema qualunque di 2n equazioni differenziali del 

 primo ordine fra 2n-\-l variabili : 



(X) 



dx§ dx\ doc<i dtC^n 



X 0 Xj X2 ~%-2n 



Ci proponiamo di esaminare se un tale sistema per trasformazione delle 

 variabili x in altre y, fra loro indipendenti, sia riducibile alla forma cano- 

 nica di Hamilton. 



Secondo quanto precede bisogna cercare, se esiste un' espressione diffe- 

 renziale : 



Y 0 dx 0 + Yi dxi -j 1- Y 2n dx 2n , 



della classe 2n -f- 1 , il cui primo sistema di Pfaff coincide col sistema prò- 



