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posto : in altri termini, se è possibile determinare in funzione delle x le Y 

 in guisa che posto: 



si abbia: 



(XI) X 0 (i , 0) + X, (i , 1) + X 2 (i , 2) -j \- S 2 „ (i , 2m) = 0 



(2 = 0,1,2... 2/z) . 



Ammesso possibile ciò, si riduca la espressione differenziale anzidetta 

 alla forma (§ 3): 



X </; dpi + Udt , 



i 



le equazioni differenziali (X) per introduzione delle nuove variabili indipen- 

 denti pi , qi e t assumeranno la forma Hamiltoniana (II). 



Le (XI) non sono fra loro indipendenti, giacché moltiplicata ordinata- 

 mente per X 0 ... X 2n e sommate dànno luogo all'identità: 



Y Z_(i,k) Xi X ft = 0; 



i k 



sicché, supposto per esempio X 0 4= 0 , ^ a prima di esse è una conseguenza 

 delle rimanenti 2n . 



Il sistema delle 2n equazioni, lineari, omogenee, alle derivate parziali 

 del primo ordine (XI) ammette notoriamente infinite soluzioni. Scelta infatti 

 ad arbitrio per es. la Y 0 fu dimostrato da Cauchy ((Euvres, S. I; t. VII, 

 pag. 33) che le Y x ... Y 2 „ si possono determinare in guisa da soddisfare 

 alle 2n equazioni differenziali e da divenire uguali, per un particolare valore 

 della variabile indipendente x 0 , a funzioni arbitrariamente date delle 

 : l' unica condizione che deve essere soddisfatta è che le fun- 

 zioni considerate sieno funzioni analitiche regolari. 



Del resto la stessa conclusione può trarsi ovviamente dalla nostra teoria 

 invariantiva. 



Integrate le (X) ed introdotte come nuove variabili invece delle x x ... x% n 

 un sistema di 2n integrali indipendenti delle equazioni stesse: 



yi = yi{%o ,Xi -x<>n) ,2 ... 2n), 



esse assumono la forma: 



, _dy\ d]h _ _ dy ìn 



0 ~ 0 0 ' 



e per conseguenza le (XI) divengono: 



^Jj_^Yo = 0 

 ~ì>Xo ~~òyi 



Rendiconti. 1903, Voi. XI, 1° Sem. 16 



