— 142 — 



Per ottenere le condizioni cercate esprimeremo che tutte queste equa- 

 zioni non sono fra loro indipendenti, cioè che sono nulli tutti i minori del 

 5° ordine della matrice: 



Au 



A 22 



A33 



Aj2 



A23 



A 3 



a n 



«22 



«33 



«12 



«23 



«31 



2a 



0 



0 



fi 



0 



y 



0 



2/5 



0 



a 



y 



0 



0 



0 



2y 



0 



fi 



a 



Indicando allora con A, , A 2 , A 3 , A 4 quattro indeterminate, dovranno sus- 

 sistere le relazioni seguenti: 



An = Ai «11 + 2 A 2 « , A 22 = Ai a 22 -{- 2 A 3 /? , A 33 = A x «33 -j- 2 A 4 y 

 A, 2 = Ai «12 + A 2 /9 -j- A 3 a , A 23 = Ai a 23 + A 3 y + hfi , A 31 = A x <z 31 -f- A 2 y + A 4 « , 



dalle quali è facile dedurre 



i An /? 2 -j- A 22 a 2 — 2Ai 2 a/9 = Ai («u /S 2 -{- «22 « 2 — 2a 12 a/?) 

 (4) j A 32 y { + A 33 /S 2 — 2A 33 /?y = A x (a 22 y 2 + a 33 /? 2 — 2a 23 §y) 

 { A 33 a- -4- An y 2 — 2A 3 i y a = Ai (« S8 a 2 -f- « u y 2 — 2fl 3 i ya) . 



Così le condizioni trovate sono in numero di due, e si ottengono dalle 

 (4) colla eliminazione di X 1 ; ma noi le terremo sotto questa forma. Se sono 

 soddisfatte, diremo che il sistema dato è completo, nel senso -che chiariremo 

 più innanzi. 



Moltiplichiamo la prima delle (4) per y 2 , la seconda per a 2 , la terza 

 per /? 2 ; poi sottragghiamo dalla prima le altre due, dalla seconda le altre, 

 e dalla terza pure le altre. Si ottengono in tal maniera le tre equazioni 

 seguenti, che sono perciò una conseguenza delle (4) : 



l A i3 afi -f- A12 &y — Ai ! y^ — A 23 « 2 = Ai (a l2 a§-\-a l2 ay — «h y/3 — « 23 a 2 ) 

 (4') < A 2a /Sy-f A 23 ^« — A 22 ay — A 3 i/9 2 = A 1 (a2i/Sy + « 23 ^a — «22«y — «31/S 2 ) 

 ( A 32 ya -f- A 31 yfi — A 33 /?« — A 18 y 2 = A, (a 32 ya -f a 3l y§ — a 33 §a — a iz y 2 ). 



Indichiamo con b 33 , bn , b 22 , $23 , b 3ì e ^12 ordinatamente i secondi 

 membri (escluso il fattore Ai) delle (4) e (4'), e con B 33 , B a ecc. i primi 

 membri; da quelle formule risulta che le due forme 



bn £ 2 + £22 rf + b 33 £ 2 + 2b 12 + 2b 23 fl£ + 2Ì3i C£ 

 B„ £ 2 + B 22 rf + B 33 V + 2B12 + 1B 23 rj£ + 2B 21 f| 



differiscono per un fattore. Ma la prima forma è un controvariante algebrico 



